23

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ (1 курс 1 семестр, группа 1-3). Учебный год 2011/2012.

1. Множество. Основные понятия (определение, принадлежность элемента множеств, подмножество множества, включение множества, равенство множеств, собственное подмножество, мощность множества, пустое множество, универсальное множество).

Ответ:

Определение: под множеством понимается, совокупность каких либо объектов произвольной природы, обладающая некоторым общим признаком.

Принадлежность элемента множеств: Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если x — элемент множества А, то записывают          (x принадлежит А). Если x не является элементом множества А, то записывают          (x не принадлежит А).

Подмножество множества: Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают   (или  )

Включение множества: Отношение включения. Говорят, что множество B включено во множество A, если каждый элемент B принадлежит A. Обозначение: B A.

Равенство множеств: Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

Собственное подмножество: Множества A и   называются несобственными подмножествами множества A. Все остальные подмножества множества A, если они существуют, – собственныеподмножества A.

Мощность множества: Пусть даны два множества A и B. Тогда они называются равномощными, если между ними существуетбиекция  . Из свойств биекции следует, что равномощность является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом множества A называется соответствующий ему класс эквивалентности. Мощность множества обозначается | A | . Тот факт, что два множества равномощны, записывается: | A | = | B | .

Пустое множество: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначение: 

Универсальное множество: Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

2. Множество. Способы задания множеств (перечислением или списком, порождающей процедурой, описанием характеристического свойства). Привести примеры.

Ответ:

под множеством понимается, совокупность каких либо объектов произвольной природы, обладающая некоторым общим признаком.

А) Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = { 1, 2, a, x  } или B = { река Нил, город Москва, планета Уран}.

Б) Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись A = { xP( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )". Например, B = { x   x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, B = {  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  }.

В) Множество можно задать порождающей процедурой, например:

D = { z1  D,и если   z  D,то   z + 3  D},

E = { x   x = 3^k,    k  любое нартуральное число.}

Г) Графически: с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

3. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение). Диаграммы Венна. Изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна операции над множествами. Привести примеры.

Ответ:

Объединение Объедине́ние мно́жеств  — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается  , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B. Если множества A и B не пересекаются:  , то их объединение обозначают также:  . Объединение двух множеств

Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением называется множество

Объединение более чем двух множеств. Пусть дано семейство множеств Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Пересечение (Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.)

Разность Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как 

Дополнение Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается  Кратко это можно записать так:  Очевидно, что   для любого 

Симметрическая разность Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них. Симметрическая разность множеств A и Bобозначается как   В некоторых источниках используется другое обозначение: 

Диаграммы Венна: Круги́ Э́йлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2ⁿ комбинаций n свойств, то есть конечнуюбулеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннеготреугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна операции над множествами.

П ересечение. объединение. разность. дополнение.

Симметрическая разность.

Привести примеры.

Пересечение. Пусть   Тогда

Объединение. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда

Разность. Пусть  . Тогда 

Симметрическая разность. Пусть Тогда