1.8.Приближенные методы решения задач упругого режима
Решения различных краевых задач неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде в условиях как бесконечного, так и конечного пластов можно получить при помощи хорошо известных методов интегрирования линейного дифференциального уравнения в частных производных — уравнения теплопроводности (6.14). Однако во многих случаях эти решения представляются громоздкими формулами в виде бесконечного медленно сходящегося ряда или несобственного интеграла, содержащего специальные функции. В связи с этим были предприняты поиски приближенных эффективных решений задач неустановившейся фильтрации.
Рассмотрим здесь некоторые из разработанных приближенных методов, широко применяемых при решении задач теории упругого режима.
1.8.1.Метод последовательной смены стационарных состояний
Одним из наиболее простых по идее приближенных методов решения задач неустановившейся фильтрации является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС), развитый И. А. Чарным и широко применяющийся в практических расчетах. Метод основан на предположении, что давление в пласте изменяется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс.
В каждый момент времени вся область движения жидкости, в действительности охватывающая весь пласт, условно разделяется на две области: возмущенную и невозмущенную.
В возмущенной области, начинающейся от стенки скважины или галереи, давление распределяется так, как будто бы движение жидкости в ней установившееся; внешняя граница этой области служит в данный момент контуром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному пластовому.
Закон движения подвижной границы раздела возмущенной и невозмущенной областей определяется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий.
Разделение фильтрационного потока на возмущенную и невозмущенную области вызывает необходимость рассматривать процесс перераспределения пластового давления протекающим в две фазы. В течение первой фазы радиус возмущенной области непрерывно растет. И в тот момент, когда она достигнет естественной границы пласта, начинается вторая фаза.
При теоретическом исследовании процесса в условиях бесконечного пласта приходится, естественно, иметь дело только с первой фазой, продолжительность которой не ограничивается.
Рассмотрим теперь расчет неустановившихся одномерных потоков упругой жидкости с помощью метода ПССС.
1.8.2.Приток упругой жидкости к с постоянным расходом
В момент времени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В пущена в эксплуатацию прямолинейная галерея с постоянным дебитом Qo. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным pk. Обозначим длину зоны возмущение на момент времени t через L(t). Требуется найти закон перемещения во времени внешней границы возмущенной.
Запишем формулу стационарного распределения давления, работающей с постоянным давлением и контуром питания равным длине возмущенной области:
|
(1.0) |
,где координата x отсчитывается от галереи.
Запишем уравнение материального баланса для галереи. Для этого проинтегрируем его по области фильтрации то, есть по координате x от нуля до бесконечности:
|
(1.0) |
.Правая часть этого уравнения легко интегрируется. Так, как в невозмущенной области давление не меняется, то интеграл в левой части по невозмущенной области (x = ) обращается в ноль, тогда уравнение материального баланса запишется
|
(1.0) |
.Вычислим значения производных по времени и координате в возмущенной области и подставим их в уравнение материального баланса
|
(1.0) |
В последнем уравнении интеграл легко вычисляется. Упростив уравнение получим
|
(1.0) |
.Последнее уравнение легко интегрируется с условием, что в начальный момент времени длина возмущенной зоны равна нулю:
|
(1.0) |
.Расход в любой точке пласта можно найти по закону Дарси. невозмущенной области давление не меняется, поэтому скорость фильтрации и дебит равен нулю. Внутри возмущенной области
|
(1.0) |
Знак (-) означает, что вектор скорости фильтрации направлен против оси x. Будем считать дебит галереи положительным. Тогда расчет давлений и расходов по МПССС производится по формулам
|
(1.0) |
Рис. 1.13. Распределение давления по длине галереи, работающей с постоянным расходом по методу ПССС |
