1.4.2.Приток упругой жидкости к галерее при постоянном расходе

В таком же полубесконечном пласте, что и в случае I в момент времени t – 0 пущена в эксплуатацию галерея с постоянным объемным дебитом Q. Требуется найти давление в любой точке пласта в любой момент времени.

Умножая обе части уравнения (6.14) на k/ц и дифференцируя по х, получаем

откуда, меняя порядок дифференцирования, получаем

Так как в нашем случае

то уравнение (6.30) можно переписать в следующем виде:

Полученное уравнение (6 31) по форме совпадает с уравнением теплопроводности (6.14). Следовательно, решением уравнения (6.31) будет решение, аналогичное (6.25), с заменой давления р на скорость фильтрации w

Р ис. 1.6. Схема притока к галереи с постоянным расходом

При этом следует иметь в виду, что начальное и граничное условия для w имеют вид

Отсюда С2 = Wi, C–L — — w1 и, следовательно,

1.4.3.Приток упругой жидкости к скважине при постоянном расходе. Основная формула теории упругого режима

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно p_k. В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объемным дебитом Q₀. В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) р (r, t) определяется интегрированием уравнения

.

(1.0)

Начальные и граничные условия задачи таковы (см. гл. 3, § 4)

р(r,0) = pk; . р(∞, t) = pk.

(1.0)

Так же, как в предыдущем случае, проведем анализ размерностей. Искомое распределение давления в пласте зависит от пяти определяющих параметров r, t, χ, р_k, и Q₀ μ/(2 π k h). Четвертый и пятый параметр имеет размерность давления. Падение давления в пласте зависит от дебита, чем больше дебит, тем больше падение давления в пласте, поэтому будем искать решение в виде

.

(1.0)

Размерности этих аргументов таковы: [r] = L, [t] = T, [χ] = L²/T, и из них можно составить один безразмерный комплекс . Приняв за новую переменную величину , сведем задачу к нахождению безразмерного давления φ, зависящего только от φ = f(u). При этом начальные и граничные условия преобразуются к виду:

t = 0, u = ∞, φ(∞) = 0; r = 0, u = 0,  ; r = ∞, u = ∞, φ(∞) = 0.

(1.0)

В силу линейности дифференциального уравнения (6.16) для функции Р имеем такое же уравнение

(1.0)

По правилу дифференцирования сложных функций находим

(1.0)

Подставляя найденные значения производных в уравнение (??.20) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

,

(1.0)

которое можно преобразовать к виду

.

(1.0)

Для решения последнего уравнения (??.20) обозначим

, тогда уравнение (??.20) принимает вид

.

(1.0)

Разделяя переменные в (6.21) и интегрируя, получаем

(1.0)

где С₁ — постоянная интегрирования. Используя граничное условие на скважине найдем постоянную интегрирования C₁

.

(1.0)

Интегрируя (??.22), будем иметь

.

(1.0)

Начальное условие и граничное условие на бесконечности одинаковы и позволяют определить Второе граничное условие и начальное условие одинаковы и позволяют определить С₂.

.

(1.0)

Тогда

.

(1.0)

В последнем интеграле сделаем замену , тогда и решение преобразуется к виду

.

(1.0)

Интеграл в (??.27) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1.

Тогда закон распределения давления при неустановившемся фильтрационном потоке упругой жидкости к скважине работающей с постоянным расходом примет вид

.

(1.0)

Формула (1.45) получила название основной формулы теории упругого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое применение, и в частности используется при интерпретации результатов исследования скважин.

Интеграл в основной формулы теории упругого режима называется интегральной показательной функцией и обозначается

.

(1.0)

При малых значениях аргумента x << 1 интегральная показательная функция имеет простую асимптотику:

.

(1.0)

Поэтому при выполнении условия давление в любой точке пласта можно рассчитывать по приближенной формуле

.

(1.0)

На рисунке .5 показан вид интегральной показательной функции и ее при малых значениях аргумента. При значениях аргумента x = 0,01 погрешность составляет 2.3%.

График интегральной показательной функции и ее асимптотики при малых аргументах Рис. 1.7

Типичные кривые распределения давления в различные моменты времени при пуске скважины с постоянным расходам показаны на рис. ??.1. На рисунке ??.3 показано изменение давления в различных точках пласта с течением времени.

Расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации можно найти из закона Дарси

.

(1.0)

Строго говоря, основная формула теории упругого режима (1.48) справедлива лишь для случая точечного стока (при r_с → 0) в неограниченном пласте.

В заключение приведем пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rс с постоянным дебитом Q_o (рис. 6.4). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (1.7): дифференцируя ее по координате r, найдем градиент давления

Кривые распределения давления вокруг скважины в различные моменты Рис. 1.8

Изменение давления в различных точках скважины с течением времени Рис. 1.9

Рис. 1.10. Кривые распределения дебита вокруг скважины в различные моменты

Рис. 1.11. Кривые изменения дебита в различных точках с течением времени

Для указанных значении r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (см. рис. 1.7). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.