16. Метод контурных токов в комплексной форме.

Определение числа независимых контуров. Матричная запись системы уравнений. Матрица главных контуров. Примеры.

Особенность эл цепи: токи всех ветвей цепи могут быть выраженны через токи главных ветвей. А это значит, что для полного описания процессов в цепи достаточно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Число главных токов равно числу главных контуров. Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р — р_ит — q + 1 уравнений. Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаемся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. Контурный ток i-гo контура I_ii равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи главных ветвей. Для определения токов главных ветвей цепи воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи.

В матричной форме система уравнений вида (3.6) запишется в следующем виде: , где Z_ij – матрица сопротивлений контуров, I_ii – матрица контурных токов, Е_ii– матрица контурных ЭДС.

1. Формирование Z_ij. Собственным сопротивлением Z_ii i-гo контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. Взаимным, или общим, сопротивлением i-гo и j-го контуров называется сопротивление Z_ij, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении;

2. Формирование I_ii. Это матрица-столбец неизвестных контурных токов.

3. Формирование Е_ii. Контурная э. д. с. Е_ii i-гo контура – это алгебраическая сумма э. д. с. всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в i-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д. с. входит в E_ii со знаком плюс

Пример: главные токи: I₃ I₄ I₂

токи всех ветвей выражаются через главные токи:

второй закон кирхгофа:

17.Метод узловых потенциалов. Определение числа независимых уравнений. Матричная запись системы уравнений. Полная матрица узлов (матрица инциденций). Примеры.

Метод узловых напряжений (потенциалов) заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются напряжения в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти искомые напряжения называются узловыми напряжениями. Зная узловые напряжения в электрической цепи можно найти токи в ветвях.

Запишем 1-й закон Кирхгофа для всех независимых узлов: 1/(jωc₁)+1/(jωc₂)=1/(jωc_э), где с_э- эквивалентная емкость. с_э=(с₁*с₂)/(с₁+с₂)

q – узлов, p – ветвей, N_н – идеальных источников напряжений.

Число независимых уравнений: N_y=q-1-N_H. Либо с помощью Графа и его дерева, по количеству ветвей графа определяем количество не зависимых уравнений.

Полная матрица узлов (используются также другие названия этой матрицы: полная матрица инциденций, матрица соединений, структурная матрица) – это таблица, в которой число столбцов равно числу ветвей графа , а число строк равно числу узлов . Номера строк совпадают с номерами узлов (строка с нулевым номером обычно располагается последней), номера столбцов совпадают с номерами ветвей. Элемент матрицы , расположенный на пересечении -й строки и -го столбца, может принимать значения +1, -1 и 0: , если ветвь инцидентна узлу и направлена от этого узла; , если ветвь инцидентна узлу и направлена к этому узлу; , если ветвь не инцидентна узлу .