§4. Экспоненциальное (показательное) распределение

Это распределение занимает особое место в теории надежности в силу двух основных причин. Во-первых, оно обеспечивает существенное упрощение расчетов надежности. Во-вторых, − и это более объективная причина – оно согласуется с опытными данными в условиях, когда расчет надежности наиболее актуален. Для более подробных пояснений обратимся к эмпирической зависимости λ(t) из §2.

Характерный для нее участок 2 обычно имеет значительную продолжительность по сравнению с участками 1 и 3. Кроме того, участок 1 для расчетов мало интересен, поскольку относится к изделиям, еще не подтвердившим отсутствие в них дефектов производственного характера. Участок 3 также не представляет сколько-нибудь значительного интереса, так как описывает стареющие изделия, которые по сути дела должны сниматься с эксплуатации.

Таким образом, в наиболее важный период эксплуатации интенсивность отказов близка к постоянной величине. Идеализируя это положение, часто считают, что интенсивность отказов постоянна во все время эксплуатации объекта

λ(t) λ = const. (2.4.1)

Из ( ) следует, что вероятность безотказной работы принимает вид «чистой» экспоненциальной зависимости

R (t)= e^-λt , t>0. (2.4.2)

Плотность распределения становится равной

f ( t)=λ e^-λt , t>0. (2.4.3)

t

Из ( ) и ( ) следует

T_о = 1/λ, (2.4.4)

σ =1/λ. (2.4.5)

Экспоненциальное распределение представляет собой единственный пример, когда одна из функциональных характеристик надежности – а именно, интенсивность отказов – сохраняет постоянное значение. В сочетании с практической значимостью самого распределения это составляет одну из причин широкого распространения понятия интенсивности отказов в теории надежности.

Следует отметить, что применение экспоненциального закона требует известной осторожности, учета границ применимости связанных с ним формул. Так, формула ( ) в одних случаях может дать вполне приемлемый, а в других – весьма далекий от действительности результат.

Пусть, например два объекта имеют интенсивности отказов λ₁ =10^-7 и λ₂=10^-3 1/час. В соответствии с ( ) для первого среднее время безотказной работы составит T_о1 = 10⁷ час или более тысячи лет. Для второго T_о2 = 1000 час. Ясно, что до первого значения не «доживет» ни один объект в силу неминуемого старения за столь длительный срок. Второе же значение представляется вполне реальным. Отдельный резистор и система, составленная из таких же резисторов.

При использовании экспоненциального закона возможны и другие «неожиданности». Поставим вопрос, какова вероятность того, что время безотказной работы объекта окажется меньше среднего для него значения. Иными словами, какова доля изделий, не отказавших за время t= T_о. Согласно ( ) эта вероятность (и доля) равна

R(T_о) = e^-1 = 0,368.

Получается, что только 36,8 % изделий «доживут» до своего среднего времени безотказной работы (вместо, возможно, ожидавшихся 50 %), а бóльшая их часть – 63,2 % – откажет раньше. Таким образом, среднее время безотказной работы чересчур «оптимистично» характеризует объект в случае экспоненциального закона. Кажущаяся парадоксальность явления объясняется тем, что при экспоненциальном законе бóльшая часть изделий «живет» относительно короткое время, а мéньшая – существенно более продолжительное, за счет чего и достигается «баланс» по среднему.

Нетрудно убедиться, что экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Эрланга при r = 1 и распределения Вейбулла при a =1.