§3. Процесс с конечным временем восстановления

Предположим теперь, что восстановление объекта после отказа требует времени, которым нельзя пренебречь по сравнению со временем безотказной работы (рис. ).

Рис.4.3.1

Пусть по-прежнему промежутки времени безотказной работы описываются одинаковой функцией распределения F(t).Предположим, что и все случайные промежутки времени восстановления τ_в1, τ_в2, …,τ_вi , … имеют одинаковую функцию распределения F_в(t) = P(τ_вi < t), которой соответствует плотность распределения f_в(t).

Если рассматривать только события, заключающиеся в восстановлениях, то получим снова простой процесс восстановления. События в нем разделены промежутками (τ_i + τ_вi ), i=1,2,…, имеющими одинаковую для всех их функцию распределения F_ов(t) = P(τ_i +τ_вi < t). Ее можно найти с помощью известной в теории вероятностей формулы композиции распределений (упоминалась §3 гл.3). Результат можно получить в двух равноправных вариантах

F_ов(t) = . (4.3.1)

Подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, можно ввести показатель H_ов(t) (среднее число восстановлений за время t), а также параметр потока восстановлений ω_ов(t). Поскольку число отказов в рассматриваемом процессе может отличаться от числа восстановлений не более, чем на единицу, эти показатели характеризуют одновременно и поток отказов. Однако показатели H_ов(t) и ω_ов(t) совершенно не отражают соотношение между продолжительностью безотказной работы и восстановления.

Поэтому для практической оценки надежности изделий оказываются предпочтительнее другие показатели.

§4. Коэффициент готовности и другие показатели надежности

восстанавливаемого объекта

Наиболее часто употребляемым показателем надежности восстанавливаемых объектов является коэффициент готовности K_г, определяемый стандартом ГОСТ 27.002-83 как «вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование объекта по назначению не предусматривается».

По существу имеется в виду режим использования объекта, описанный в предыдущем параграфе, из которого исключены упомянутые в стандарте периоды. Коэффициент готовности относится к категории комплексных показателей, характеризующих более, чем одно из свойств, входящих в понятие надежности. В данном случае это свойства безотказности и ремонтопригодности.

Кроме коэффициента готовности стандартом предусмотрено применение коэффициента технического использования K_ти (он учитывает дополнительно простои на техническое обслуживание), коэффициента оперативной готовности K_ог (учитывает дополнительное требование сохранения работоспособности в течение некоторого времени после момента, когда объект оказался в работоспособном состоянии) и ряд других. Дальнейший материал касается только коэффициента готовности.

Остальные показатели для самостоятельного изучения.

Если известны среднее время безотказной работы T_о и среднее время восстановления T_в, стандарт предписывает вычислять K_г по формуле

K_г = . (4.4.1 )

Тот же стандарт предусматривает получение статистической оценки коэффициента готовности на основе испытаний N объектов

K̃_г = , (4.4.2)

Где T_i – суммарное время пребывания i-го объекта в работоспособном состоянии, а T_р – общая для всех объектов продолжительность испытаний, куда входят и промежутки восстановления. Исходя из этой формулы, можно дать полезное истолкование коэффициента готовности как доли времени, в течение которого объект работоспособен, от общего времени его эксплуатации.

При достаточно большом N и T_р оценка K̃_г будет давать значение, близкое к K_г, полученному по формуле ( ).

Результатом вычислений по формулам ( ), ( ) являются числовые значения, лежащие в интервале [0,1]( как и положено вероятностям). Таким образом, стандарт «по умолчанию» не принимает во внимание возможной зависимости K_г от времени, хотя первоначальное определение этого не исключает. Не вполне понятно также, как это определение согласуется с формулой ( ).

С целью уточнения этих вопросов рассмотрим возможные зависимости коэффициента готовности от времени для частного случая, когда время безотказной работы и время восстановления подчинены экспоненциальным законам с интенсивностями отказов λ и μ соответственно.

Некоторые авторы (например, Дружинин, Половко) в случае, когда рассматривается зависимость от времени, коэффициент готовности называют функцией готовности. Стандартом такой термин не предусмотрен.

Рассмотрим произвольный момент времени t и отстоящий от него на малый интервал времени Δt момент t+ Δt. Согласно формуле ( ) вероятность отказа на малом интервале Δt при условии, что в момент t объект был работоспособен, составит λΔt. Согласно ( ) вероятность восстановления на малом интервале Δt при условии, что в момент t объект не был работоспособен, составит μΔt.

Найдем K_г(t+ Δt), используя формулу полной вероятности.

Пусть А – некоторое событие, которое может произойти только вместе с одним из событий А₁, А₂ … А_n , между собой попарно несовместных. Тогда

Р(А)=Р(А₁)Р(А/А₁)+ Р(А₂)Р(А/А₂)+…+ Р(А_n)Р(А/А_n).

В качестве события А рассмотрим наличие работоспособного состояния в момент (t+ Δt), вероятность которого равна K_г(t+Δt) по определению коэффициента готовности. В качестве события А₁ наличие работоспособного состояния в момент t; его вероятность это K_г(t). В качестве события А₂ возьмем противоположное А₁ событие, состоящее в том, что объект в момент t неработоспособен и восстанавливается; его вероятность это (1 – K_г(t)).

Согласно приведенным выше пояснениям условные вероятности приобретут значения

Р(А/А₁)=1 – λΔt , Р(А/А₂)= μΔt,

а формула полной вероятности примет вид (n = 2)

K_г(t+Δt) = K_г(t)( 1 – λΔt) + (1 – K_г(t)) μΔt. (4.4.3)

Строго говоря, эта формула приближенная, поскольку выражения для Р(А/А₁) и Р(А/А₂) записаны с точностью до слагаемых, содержащих в качестве множителей (Δt)² или более высокие степени Δt. Это следует из пояснений к формулам ( ) и ( ). Кроме того, на промежутке Δt возможны события, заключающиеся более, чем в одном отказе или восстановлении. Выражения для вероятностей этих событий содержат множители такого же порядка относительно Δt. Чтобы учесть эти поправки, запишем формулу ( ) в виде

K_г(t+Δt) = K_г(t)( 1 – λΔt) + (1 – K_г(t)) μΔt + o(Δt). (4.4.4)

Символом o(Δt) обозначены все возможные слагаемые, содержащие Δt в степени 2 и выше. Как будет ясно из ближайших выкладок, более подробной записи поправок и не потребуется.

Преобразуем ( ) к виду

(K_г(t+Δt) – K_г(t))/Δt = –K_г(t)(λ + μ ) + μ + o(Δt)/Δt (4.4.5)

и перейдем к пределу при Δt→0. В результате перехода в левой части появится производная K_г(t)) по времени, а в правой части последнее слагаемое обратится в 0 (становится ясно, почему в подробной записи слагаемых, скрытых под обозначением o(Δt) не было необходимости). Получим

K′_г(t) + (λ + μ )K_г(t) = μ . (4.4.6)

Получилось линейное дифференциальное уравнение относительно K_г(t), решение которого, как нетрудно проверить имеет вид

. (4.4.7)

Постоянная C должна быть определена из начального условия, т.е. должна быть известна вероятность того, что в начальный момент времени t = 0 объект работоспособен. Например, если он достоверно работоспособен, то K_г(0) = 1, после чего получаем

. (4.4.8)

График K_г(t) показан на рис. .(кривая1). Если в начальный момент объект достоверно неработоспособен, то

, (4.4.9)

и график K_г(t) изображается кривой 2. В общем случае, когда 0< K_г(t) <1 получается кривая типа 3.

Рис.4.4.1

Независимо от того, с какой вероятностью объект работоспособен в начальный момент времени, K_г(t) стремится с течением времени к постоянному значению μ/(λ + μ). Полезно оценить, через какое время это значение практически достигается. Рассмотрим для этого формулу ( ) , записав ее в виде

. (4.4.10)

При t > 3/(λ+μ) экспонента не превосходит значения 0,05, и значение K_г(t) отличается от величины μ/(λ + μ) не более, чем на 5%. Таким образом, при анализе надежности объекта по истечении времени t₀ = 3/(λ+μ) от начала его работы исходное его состояние практически можно не принимать во внимание и пользоваться выражением

. (4.4.11)

Значение t₀ не больше, чем 3/μ (как правило, λ<<μ), и на основании ( )можно оценить его как

t₀ = 3T_в.

Таким образом, по истечении 3-х кратного среднего времени восстановления зависимость коэффициента готовности от времени практически исчезает, и можно пользоваться для его вычисления формулой ( ). С учетом ( ) она приобретает вид ( ), приведенный ранее.

Нетрудно показать, что этот вывод сохраняется и при любом начальном значении вероятности работоспособного состояния объекта. Более того, формула справедлива при любом (не обязательно экспоненциальном) распределении времени безотказной работы и времени восстановления.

Учитывая все изложенные соображения, в дальнейшем под коэффициентом готовности будем понимать только постоянное значение вероятности работоспособного состояния, соответствующее моментам времени, достаточно удаленным от начала работы объекта .

Заметим в заключение, что коэффициент готовности дает достаточное представление о соотношении между промежутками безотказной работы и восстановления (или, как уже отмечалось, о доле времени сохранения работоспособного состояния в общем времени эксплуатации объекта), но не позволяет судить о количестве отказов-восстановлений за какое-то время. Поэтому при выборе нормируемых показателей надежности его обычно дополняют показателем, характеризующим свойство безотказности.