18. Системы компьютерной математике.

История развития функциональное назначение. Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов.Тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т. д. При этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно. В бывшем СССР большой вклад в развитие систем символьной математики внесла школа академика Глушкова. В конце 70-х годов были созданы малые инженерные ЭВМ класса «Мир», способные выполнять аналитические вычисления даже на аппаратном уровне. Наибольшую известность получили три класса систем символьной математики: системы Mathematica 1 и 2. Позже символьные вычисления были реализованы в популярных числовых системах Mathcad. Блок символьной математики был добавлен и в одну из самых крупных матричных систем — MATLAB.

Основы работы систем MatCad…

19. Численные методы решения научно-технических задач

Метод половинного деления также называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых. Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера. Решение систем линейных алгебраических уравнений - одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности - нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Решение дифференциальных уравнений Известно, что с помощью дифференциальных уравнений можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, и др. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка.  математические основы и алгоритмы реализации задач аппроксимации и интерполяции Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел  изучаются диофантовы приближения, в частности, приближения  иррациональных  чисел  рациональными. В геометрии  рассматриваются аппроксимации  кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения  функций,  численные методы анализа. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.