25 Оптимальный фильтр при небелом шуме.

Сигнал y(t) на выходе линейной системы при поступлении на ее вход сигнала x(t) определяется известным интегралом Дюамеля

. (9.17)

Пусть на вход оптимального фильтра поступает аддитивная смесь, содержащая сигнал S(t) , с которым фильтр согласован, и помеха n(t) ( это может быть флюктуационная помеха или какой-нибудь детерминированный сигнал, с которым фильтр не согласован) x(t)=S(t)+n(t) ,

Подставляя x(t) и (9.16) в (9.17), получим

, (9.18)

заменяя t­₀ на Т, получим

(9.19)

Таким образом, на выходе согласованного фильтра получаем под действием сигнала функцию корреляции сигнала, а под действием помехи функцию взаимной корреляции сигнала и помехи. Если на входе фильтра только помеха(без сигнала), на выходе получаем только функцию взаимной корреляции помехи и сигнала, с которым фильтр согласован.

В формуле (9.19) а - любой произвольный множитель, поэтому произведение а Т можно заменить на произвольный множитель b. В момент времени t=T (момент отсчета) формула (9.19) дает

(9.20)

Примечание. Если на вход согласованного фильтра поступает флюктуационная помеха, то теоретически функция взаимной корреляции B_sn(0) должна быть равна нулю, так как сигнал и помеха являются независимыми функциями времени. Однако на практике B_sn 0 , так как при вычислении функции взаимной корреляции требуется бесконечно большое время интегрирования. В нашем же случае интегрирование ведется за время, равное Т. Поэтому формулы (9.19) и (9.20) являются приближенными.

Результаты фильтрации не зависят от формы сигнала. Следовательно фильтр может быть применен и без детектора. Тогда оптимальный приемник полностью известных сигналов (рис. 6.1) может быть реализован в виде двух согласованных фильтров - СФ ₁ , СФ ₂ и устройства сравнения - УС (рис.9.3).

27 Оптимальный фильтр для сложной последовательности прямоугольных импульсов.

Рассмотрим согласованный фильтр для прямоугольного импульса длительности Т (рис 9.4 а).

Спектральная плотность такого импульса равна

.

Для согласованного фильтра, в соответствии с (9.10) для случая t₀ = T

(9.21)

Пользуясь последним выражением, можно легко построить схему фильтра для данного случая. Так из теории электрических цепей известно, что деление на j означает интегрирование сигнала, а множитель е^-jT означает задержку сигнала на время Т. В результате схема фильтра будет содержать интегратор, линию задержки и вычитатель (рис. 9.4).

Таким образом, на выходе фильтра получился треугольный импульс с основанием 2Т (это - функция корреляции входного импульса прямоугольной формы). То, что выходной импульс имеет в два раза большую длительность, чем входной, является недостатком оптимального фильтра, так как "хвост" выходного сигнала на отрезке времени от Т до 2Т будет накладываться на выходной сигнал следующего импульса. Поэтому на практике часто применяют упрощенную схему фильтра, содержащую интегриру ющую RC -цепь (RC>> T) и ключ К (рис. 9.5).

В момент T окончания входного импульса ключ К замыкается, конденсатор интегратора быстро разряжается через ключ и схема оказывается готовой к приему следующего импульса.

Оптимальный фильтр для приема радиоимпульсов с прямоугольной огибающей может быть построен аналогичным образом, однако RC - цепочка должна быть заменена колебательным контуром с достаточно высокой добротностью. Фильтры с ключами называются "кинематическими" фильтрами.