44 Пропускная способность непрерывного канала связи

Если x(t) – сигнал на входе канала связи, а y(t)=x(t)+n(t) – сигнал на его выходе (n(t) – аддитивная помеха), то скорость передачи информации по непрерывному каналу связи будет определяться выражением (23), в котором величину 1/ надо заменить на 2F_max ( èëè 2F_k , предполагая, что источник сигнала согласован с каналом и его полоса пропускания F_k= F_max) , (37)

где, как и ранее, H(y) – это энтропия выходного сообщения, H(y/x) – энтропия шума (почему она так называется, будет видно из дальнейшего изложения).

Пропускная способность равна максимально возможной скорости передачи по каналу связи, когда источник сигнала полностью согласован с характеристиками канала связи: .(38)

Максимум H(y) достигается в случае гауссовского закона распределения случайной величины y. При этом (39)

При учёте влияния помехи необходимо рассматривать наихудший случай, когда помеха распределена также по гауссовскому закону.

Условная вероятность w(y/x) – это попросту вероятность распределения случайной величины y при якобы известном заранее значении x, хотя величина x является случайной. Но, так как y(t)=x(t)+n(t), можно записать

где ²_y/x – дисперсия величины y при известном x, т.е. дисперсия помехи ²_n.

Определим условную энтропию H(y/x)

.

В этом выражении предполагается, что x известно заранее. Таким образом, величина x в приведенном выражении является попросту математическим ожиданием величины y. Однако известно, что энтропия непрерывного случайного процесса от математического ожидания не зависит.

Тогда получаем, что

.

Отсюда видно, почему условная энтропия H(y/x) называется энтропией шума.

Для гауссовского закона распределения помехи максимальное значение энтропии шума, в соответствии с (35), будет равно

. (40)

Подставляя (39) и (40) в (38), получаем .

Перенося число 2 под знак логарифма, получим . В этом выражении ²_n=P_п – мощность помехи, а ²_y=²_x+²_n=P_с+P_п, где P_с – мощность сигнала на выходе канала связи. С учётом этого получаем окончательно формулу для вычисления пропускной способности непрерывного канала связи (формулу Шеннона): (41)

В заключение можно отметить следующее.

Для достижения скорости передачи информации по непрерывному каналу связи, близкой к пропускной способности канала связи, сигнал x(t) по статистической структуре должен быть близок к флюктуационной помехе (белому шуму) с гауссовским законом распределения.

10. Приемник Котельникова для приема сигналов дам.

Элементами сигналов ДАМ являются посылки (кодовый элемент «1») и паузы (кодовый элемент «0») 0  t  T,

где Т – длительность элемента сигнала.

Некогерентный прием

Прием сигнала ДАМ в этом случае осуществляется путем сравнения уровня сигнала после амплитудного детектора (детектора огибающей) с некоторым пороговым уровнем U_п решающей схемы приемника (рис. 2). Ошибки возникают в случаях:

1 При передаче посылки огибающая суммы сигнала и помехи (E_сп) оказывается меньше порогового уровня U_п (переход 10).

2 При передаче паузы огибающая помехи E_п оказывается больше U_п (переход 01).

Вероятности этих событий определяются через соответствующие распределения значений огибающих (рис. 3,а и рис 3,б) (2.6)

где w(E_сп)– плотность распределения огибающей суммы сигнала и помехи, которая, как известно, определяется обобщенным законом Релея (Релея-Райса),

w(E_п) – плотность распределения огибающей помехи, определяется простым законом Релея.

.Средняя вероятность ошибки с учетом (2.4) и (2.6) равна

p_{ошАМнкг = 0,5} (2.7)

Значение p_ош зависит от порогового уровня U_п решающей схемы. Можно показать, что вероятность ошибки минимальна, когда U_п (при a²  ²), т.е в этом случае U_п имеет оптимальное значение. При этом окончательно получаем

p_{ошАМнкг} , (2.8)

где – отношение мощностей сигнала и помехи (отношение сигнал / шум), а

Ф(z)

– табулированный интеграл вероятностей.

Зависимость p_ош = f(h) при некогерентном приеме показана на рис. 5 (кривая 1).

Если h²  1, то

p_{ош.АМ нкг}  (2.9)

Максимальная помехоустойчивость при приеме сигналов ДАМ наблюдается в том случае, если применяется оптимальная фильтрация сигналов. В этом случае необходимо в ф-ле (2.9) вместо подставить , равное (2.10)

где – энергия элемента сигнала,

N₀ – спектральная плотность мощности помехи.