8. Сигналы и их спектры (Спектральный анализ сигналов).

Сигналы представляют собой изменяющуюся во времени электрическую величину. Различают сигналы периодические и непериодические. Простейшие непериодические сигналы представляют собой одиночные импульсы произвольной длительности

Рисунок

Периодические - бесконечную временную последовательность импульсов одинаковой формы с равными периодами повторения s(t) = s(t + n T),

n =  1, 2,…, T - период сигнала

Рисунок

Кроме временного, существуют и другие формы представления сигналов. При анализе сигналов и их прохождении по каналу связи удобнее применять частотное представление. Известно, что любую периодическую функцию фремени s(t) с помощью ряда Фурье можно представить в виде суммы гармонических составляющих

s(t) = где а₀/2 - постоянная составляющая s(t),

a_n, в_n - амплитуды косинусной и синусной составляющих ряда (коэффициенты ряда). Этот ряд может быть преобразован к виду:

s(t) = где А_n - амплитуды гармонических составляющих ряда

A

Амплитуды гармонических составляющих могут быть определены с помощью формул Эйлера для коэффициентов ряда Фурье:

; в_{n =} - основная частота последовательности, образующей периодический сигнал на интервале времени . Гармонические составляющие ряда (1) графически представляются отдельными спектральными линиями А_n = f(), разнесенными относительно начала координат на расстояния n₁. Совокупность величин An называют спектром амплитуд. Спектр содержит бесконечное число гармоник, амплитуды An которых убывают в пределе до бесконечно малого значения. Спектр - дискретный (линейчатый). Для передачи сигнала без искажений необходимо по каналу связи передать все бесконечное число гармоник. Практически это невозможно, т.к. потребовался бы канал с  большой полосой частот. Допускаются некоторые искажения формы сигнала, что позволяет ограничиться передачей конечного числа гармонических составляющих. Чем больше число гармоник передается, тем меньше искажения. Передают только часть гармоник, несущих основную энергию сигнала. Интервал на шкале частот, в котором размещается ограниченный спектр сигнала, называют шириной спектра. Кроме спектра амплитуд рассматривают также спектр фаз.

Выводы. 1. Спектральное представление сигналов - разложение его на сумму, конечную или бесконечную, элементарных гармонических сигналов с различными частотами. 2. Периодические сигналы можно представить с помощью рядов Фурье, которые образуются суммированием, вообще говоря, бесконечного числа гармоник с частотами, кратными основной частоте повторения последовательности. 3. Спектральное представление непериодических, в частности импульсных, сигналов осуществляется путем разложения их в интеграл Фурье. 4. В частотной области сигнал характеризуется своей спектральной плотностью. 5. Сигнал и его спектральная плотность связаны взаимно парой преобразований Фурье.

9, Спектр периодического сигнала. Ширин а спектра.

Рассмотрим разложение в ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (, Т, А), четной относительно точки t = 0

Рисунок

В технике связи отношение называют скважностью последовательности. Для четкой функции коэффициенты ряда Фурье равны ;

в = 0 отсюда приходим к следующему ряду Фурье

s(t) =

Рисунок

При и т.д. Sin обращается в "0" и соответствующие гармоники также будут равны нулю. При обращаются в "0" 5, 10, 15 и т.д. гармоники. Действительно для 5-ой гармоники (n = 5)

a_n=

10, Спектр непериодического сигнала. Ширин а спектра. Спектральная плотность. Спектр непериодического сигнала определяют, используя интеграл Фурье Сигнал s(t) и его спектральная плотность S() взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованием Фурье S(t) = Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом Т . При этом разность частот между соседними гармониками стремиться к нулю. Спектр становится сплошным, амплитуды - бесконечно малыми. Спектральная плотность сигнала S() - комплексная величина, ее можно представить в виде

S() = A() + i B() = S() e , где

Модуль и фаза спектральной плотности S() = Структура спектра непериодического сигнала полностью определяется спектром амплитуд S() и спектром фаз (это и есть спектральная плотность).

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса амплитудой V, длительностью симметричного относительно начала отсчета времени: на основании (3)

где

координатный синус или функция отсчета. Значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса S(o) = V . Спектральная плотность обращается в нуль при или при где n = 1,2,3…; т.у. при = .График отсчетной функции Рисунок

Необходимую ширину спектра  выбирают предельно малой, но такой, чтобы в ней была сосредоточена основная энергия сигнала (30% в первом лепестке). Энергия может быть определена согласно равенству Парсеваля

 ; _(Гц) Этим выражением пользуются для оценки ширины спектра, в общем случае  = , где К - некоторый коэффициент К  1. Короткий импульс имеет широкий спектр , а длинный импульс - узкий спектр. Это общее положение, согласно которому ширина спектра любого процесса обратно пропорциональна его длительности. При 0 импульс вырождается в дельта - функцию t), спектр которой является равномерным (белый шум).

Выводы. (результаты, резюме):1. Спектральное представление сигналов - разложение его на сумму, конечную или бесконечную, элементарных гармонических сигналов с различными частотами. 2. Периодические сигналы можно представить с помощью рядов Фурье, которые образуются суммированием, вообще говоря, бесконечного числа гармоник с частотами, кратными основной частоте повторения последовательности. 3. Спектральное представление непериодических, в частности импульсных, сигналов осуществляется путем разложения их в интеграл Фурье. 4. В частотной области сигнал характеризуется своей спектральной плотностью. 5. Сигнал и его спектральная плотность связаны взаимно парой преобразований Фурье.