30) Энергетические спектры сигналов

Рассмотрим частотный аспект и найдем связь между скалярным произведением сигналов и их спектральными плотностями. Пусть имеются два сигнала u(t) и V(t). Их скалярное произведение (u,v)= пропорционально взаимной энергии сигналов и , если сигналы совпадают, т.е. u(t) = v(t), то скалярное произведение переходит в энергию сигнала:

. Каждому из сигналов u(t) и v(t) соответствуют спектральные плотности которые связаны с сигналами обратным преобразованием Фурье

Заменим в скалярном произведении один из сигналов его спектральным представлением а затем сменим порядок интегрирования по времени и частоте: Внутренний интеграл есть не что иное, как спектральная плотность сигнала u(t) при отрицательном значении аргумента (т.е. частоты): Следовательно . (1) Эта запись называется обобщенной формулой Рэлея.

Скалярное произведение двух сигналов пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.( ! )

Если u(t) = v(t), то из (1) получим так называемое равенство Парсеваля:

(2)

Равенство Парсеваля устанавливает связь между энергией сигнала и модулем его спектральной плотности. Величина имеет смысл плотности распределения энергии по оси частот и называется энергетическим спектром сигнала или спектральной плотностью энергии сигнала.

(3)

т.е. энергия сигнала может быть представлена как результат суммирования вкладов в энергию от различных участков на частотной оси.

Аналогично определяется и взаимный энергетический спектр сигналов u(t) и v(t): (u,v)= (4)

Вид кривой взаимного энергетического сигнала спектра W_u,v(ω) показывает, какую роль в формировании взаимной энергии сигналов (их взаимного влияния) играют различные участки их спектра. При изучении сигналов с помощью энергетических спектров неизбежно теряется информация, которая заключена в фазовых спектрах, тем не менее понятие энергетического спектра весьма плодотворно с точки зрения установления реальной ширины спектра тех или иных сигналов.

Рассмотрим распределение энергии в спектре одиночного прямоугольного видеоимпульса. Аналитическое выражение для энергетического спектра можно получить, возводя в квадрат выражение для спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса

(5)

Полная энергия такого видеоимпульса равна где U- амплитуда импульса, τ_u - длительность.

Рисунок

Для определения доли энергии в пределах 1-го, 2-го, 3-го лепестков спектра надо проинтегрировать (5) в соответствующих пределах. Доля энергии в 1-ом лепестке

Сделаем замену переменных тогда . Имеется табличный интеграл однако в пределах от 0 до π этот интеграл не затабулирован. Численные расчеты показывают, что в пределах 1-го лепестка содержится 0,902 энергии сигнала, во 2-ом - 0,048, в 3-ьем - 0,023. Таким образом, 2-х краткое расширение полосы пропускания приемника увеличит энергию сигнала всего на 4,8%, в то время. как помеха, если она имеет равномерный спектр, увеличит свою энергию на 100 %. На практике принято за активную ширину спектра сигнала ΔF принимать диапазон частот, внутри которого сосредоточено 90 - 95% энергии сигнала. Для прямоугольного видеоимпульса это один-два первых лепестка.