2.4 Кореляційний аналіз

Функціональним називають зв'язок між ознаками, при якому кожному значенню однієї змінної відповідає чітко окреслене значення іншої змінної.

Кореляційним (статистичним) зв'язком називається такий зв'язок, при якому чисельному значенню однієї змінної відповідає кілька значень іншої.

Кореляційною залежністю y від x називається така залежність, при якій зміни випадкової величини x спричинюють зміни середнього значення змінної y ( ), тобто .

Вибірковим коефіцієнтом кореляції називається число:

,

де - вибіркові середні для і , тобто , .

- вибіркові середньоквадратичні відхилення для і

.

Властивості коефіцієнта кореляції:

1. абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує 1

2. якщо , то і зв'язані точним лінійним зв'язком: ;

3. якщо , то між і немає лінійного зв'язку, але криволінійна залежність можлива;

4. чим ближче до , тим сильніше лінійний зв'язок між і і, чим ближче до , тим він слабший;

5. якщо , зв'язок між і зростаючий, , зв'язок – спадний.

Рівняння лінійної регресії .

Параметри лінійної регресії дорівнюють:

, .

Перевірка гіпотези про значимість коефіцієнта кореляції .

Гіпотеза : лінійного кореляційного зв'язку для даної генеральної сукупності немає.

а) Визначають значення критерію, що спостерігається

.

б) по таблиці Стьюдента (Додаток 3) визначають .

в) при - нульову гіпотезу відкидають, при - приймають.

2.5. Метод найменших квадратів

Лінійна залежність

1. Обчислюють середні для

2. Визначають параметри:

,

Параболічна залежність

1. Складають систему рівнянь:

2. Методом Крамера обчислюють параметри параболи:

Для досліджуваних видів функцій обчислюють середню погрішність:

Точніше та функція, у якої середня погрішність менше.

Приклад 16. Задана залежність врожайності y (ц/га) від якості ґрунту x (у балах).

	-1	0	1	4
	-1	2	0	2

Знайти:

• коефіцієнт кореляції;

• рівняння лінійної регресії.

• перевірити коефіцієнт кореляції на значимість.

• рівняння лінійної, параболічної залежності (МНК), середню погрішність.

Розв'язання.

Для зручності обчислень складемо розрахункову таблицю:

-1	-1	1	1	1
0	2	0	0	4
1	0	0	1	0
4	2	8	16	4
4	3	9	18	9

Обчислимо середні значення для х і у:

; ; (n=4)

Обчислимо середні квадратичні відхилення для х і у:

; .

Обчислюємо коефіцієнт кореляції:

.

На підставі властивостей коефіцієнта кореляції робимо висновок.

Оскільки r=0,62 >0, то між x і y сильний, зростаючий лінійний кореляційний зв'язок.

Обчислюємо коефіцієнти лінійної регресії :

;

Р івняння лінійної регресії має вид:

Побудуємо на координатній площині задані пари точок і отримаєму пряму.

Перевіримо коефіцієнта кореляції на значимість (критерій Стьюдента).

- для даної генеральної сукупності лінійного кореляційного зв'язку немає.

а) Обчислюємо значення критерію, що спостерігається

,

б) по таблиці Сть’юдента (Додаток 3) визначаємо

.

Оскільки (1,12 < 4,30) нульову гіпотезу відкидаємо, тобто коефіцієнт кореляції для всієї генеральної сукупності не дорівнює нулю.

Метод найменших квадратів

Для зручності складаємо таблицю:

-1	-1	1	-1	1	-1	1
0	2	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1	1
4	2	8	32	16	64	256
4	3	9	31	18	64	258

1. Обчислимо середні значення для х і у:

; ; (n=4)

2. Визначаємо параметри:

,

3. Складають систему рівнянь:

4. Обчислюють

4. Обчислюють параметри параболи:

Рівняння параболи має від:

Побудуємо графіки:

5. Обчислюють середню погрішність.

Для зручності складаємо таблицю:

		пряма		парабола
-1	-1	-0,11	0,79	-0,37	0,40
0	2	0,32	2,82	0,425	2,48
1	0	0,75	0,56	1,049	1,10
4	2	2,04	0,00	1,889	0,01
			4,18		3,99

Середня погрішність для прямій:

Середня погрішність для параболи:

Парабола точніше згладжує дані.