Тема1.

1)

Электрический заряд – неотъемлемая часть любого макроскопического тела.

Закон сохранения заряда. Заряд замкнутой системы (число частиц которой не меняется) не изменяется.

Дискретность заряда. Элементарный заряд – заряд электрона. Всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратным e: q=±Ne.

Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих заряды.

Закон Кулона. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

1. в векторном виде:

2. в скалярном виде:

З-н Кулона применим к точечным и сферическим зарядам. При произвольных зарядах следует перейти к суммированию по точечным/сферическим зарядам.

Опыт дает, что сила взаимодействия между 2 зарядами не меняется, если вблизи них поместить еще какие-либо заряды. Отсюда следует, что результирующая сила, с которой действуют на заряд N зарядов , равна .

2)

Напряженность электростатического поля – силовая характеристика поля, величина, равная силе, действующей на единичный положительный заряд в данной точке поля.

Заряд, внесенный в пустое пространство, меняет его свойства, и в нем образуется электрическое поле.

; .

Принцип суперпозиции электрических полей. Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: . Так как сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (опыт).

3)Работа по переносу заряда в электростатическом поле

, где dr-изменение радиус-вектора.

(работа равна изменению потенциальной энергии)

Работа по замкнутому контуру равна 0, => работа не зависит от пути, а только от конечного и начального положений заряда.

=> (циркуляция вектора напряженности электрического поля равна 0).

Потенциальный характер электростатического поля следует из последнего равенства( работа поля не зависит от пути).

4)Потенциал – величина . Численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд; равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

- потенциальная энергия взаимодействия 2 зарядов (возникает вследствие совершения работы)

Разность потенциалов.

Разность потенциалов равна работе по перемещению единичного положительного заряда из т.1 в т.2

Связь напряженности с разностью потенциалов аналогична связи между потенциальной энергией и силой: . Для заряженной частицы в электростатическом поле: , . Отсюда, => .

Градиент потенциала – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания потенциала.

5)

Графическое изображение электростатического поля с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальная поверхность (ЭП) – воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. При перемещении по ЭП на отрезок dl потенциал не изменяется (dφ=0), => (так как ) касательная к поверхности составляющая вектора равна нулю.

Нарисуйте эти линии для полей 2 точечных одноименных и разноименных зарядов. Покажите, что вектор напряженности всегда перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

6)

Принцип суперпозиции – допущение, согласно которому если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым эффектом в отдельности.

Принцип суперпозиции электрических полей. Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: . Так как сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (опыт).

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Так как работа, совершаемая силами поля над зарядом, будет равна алгебраической сумме работ, обусловленных каждым из зарядов в отдельности: ; , где r_i1 и r_i2 – расстояние от q_i до начального и конечного положения q'.

=> => .

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность и потенциал поля любой системы зарядов. Разбив протяженные заряды на достаточно малые доли dq, любую систему можно свести к совокупности точечных зарядов.

Тема 2.

1)

Поток вектора напряженности – число точек пересечения линий напряженности с данной поверхностью.

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε₀.

.

Примените теорему Гаусса для нахождения напряженности поля металлической сферы, заряженной с поверхностной плотностью заряда σ.

Поле будет центрально-симметричным, т.е. направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности – функция расстояния r от центра сферы. Если r>R, внутрь поверхности попадает весь заряд q, распределенный по сфере.

=> (r≥R).

Сферическая поверхность радиуса r< R не будет содержать зарядов, вследствие чего E(r)=0.

Таким образом, внутри сферы поле отсутствует, а вне сферы тождественно с полем точечного заряда, помещенного в центр этой сферы.

2)

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε₀.

.

Примените теорему Гаусса для нахождения напряженности поля длинной прямой нити, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда τ.

Плоскорадиальная симметрия.

Проводим цилиндрическую поверхность, ось которой – нить, высота h, радиус основания r.

(2-ой интеграл = 0, так как cos=0)=> (поле неоднородно, уменьшается с расстоянием)

3)

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε₀.

.

Примените теорему Гаусса для нахождения напряженности поля бесконечно длинного прямого полого цилиндра, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда τ.

Внутри цилиндра радиусом R напряженность поля равна нулю, т.к. там нет зарядов, выбираем поверхность Гаусса- цилиндр большего радиуса( оси цилиндров совпадают), тогда

(2-ой интеграл = 0, так как cos=0)=> (поле неоднородно, уменьшается с расстоянием) при r<=R.

4)

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε₀.

.

Примените теорему Гаусса для нахождения напряженности поля бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда σ.

Из симметрии: напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Проведем цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости. Поток через боковую поверхность будет равен нулю, так как E_n в каждой точке =0., а для оснований E_n совпадает с E. => суммарный поток через поверхность равен 2EΔS. Внутри поверхности заключен заряд σΔS.

Т.о. => (напряженность поля одинакова по величине на любых расстояниях от плоскости, т.к. результат не зависит от длины цилиндра)

Найдите напряженность поля двух параллельных заряженных плоскостей (плоского конденсатора).

Это поле можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. В области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковые направления, так что между пластинами , а вне =0, так как складываемые поля имеют противоположные направления, а их напряженности по величине равны.