Эргодичность.

Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.

11.2.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс).

Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

Графики нормальной ФПВ построены на рис. 11.2.:

W(x)

₁ ₁ ₁

m₁<0 m₁=0 m₁>0 Рис.11.2.

₂>₁

m₁ - среднее значение случайного процесса . x

² - дисперсия случайного процесса .

Свойства нормального случайного процесса .

1. W(x)  0

2. Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m₁

3. W(x) - max при х = m₁

4. Площадь под кривой W(x) равна 1.

5. При изменении m₁ форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х.

6. Чем больше дисперсия ², тем кривая ниже и шире.

7. С вероятностью близкой к 1 (Р0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах:

m₁ - 3 < x < m₁+3

W(x)

Рис.11.3.

3 3 x

Если известна дисперсия и m₁, то рабочий участок ВАХ должен иметь протяженность m₁3.

8. ФРВ для нормального случайного процесса

= F( ) - табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)

F (0) = 0.5 F (-x) = 1- F(x)

F (3.9) = 0.99995 F (-) = 0; F() = 1.

ФРВ для нормального процесса имеет вид:

F ( x)

1

0.5 Рис.11.4.

0 m₁ x

11.3.Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X(t) = Asin ( wt +  )

 - случайная величина, равномерно распределенная на интервале  , т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна:

; |x|  

W()

1/2

Рис.11.5.

- 0  

Вычислим среднее значение :

Вычислим дисперсию:

ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид:

W(x)

Рис.11.6.

-A 0 A x

Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки)..

ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со случайной фазой:

X(t) = Asin ( wt +  )

F (x)

1

0.5

Рис.11.7.

-A 0 A x