Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции_МТС_заочники.docx
Скачиваний:
50
Добавлен:
24.04.2019
Размер:
262.19 Кб
Скачать

1.5.4. Вычисление случайных погрешностей измерений.

Величину отдельной случайной погрешности, в отличие от систематической, вычислить невозможно, хотя эти погрешности реально существуют и искажают результат измерения. Чтобы учесть эти погрешности, приходится делать многократные измерения одной и той же величины (получать ряд измерений). Этот ряд измерений имеет разброс в значениях для каждого конкретного измерения. Интуитивно, за наиболее вероятную величину полученных результатов следует принять их среднее арифметическое. Вероятность того, что это среднее арифметическое будет истинным значением, равна единице, если мы проведем бесконечно большое число измерений. Реально это невозможно. В лучшем случае проводят более 30 измерений, а обычно около 10. В этом случае законы математической статистики и теории вероятностей, которые следовало бы использовать при вычислениях истинного результата, дают сбой. Приходится делать допущения, что уменьшает точность измерений. Любые случайные величины, а случайные погрешности являются таковыми, распределяются особым образом, то есть имеют свои законы распределения. Этих законов достаточно много и при каждом из них нужно производить свой алгоритм вычислений. Так как число измерений обычно не превышает 15, то показано, что эти случайные погрешности можно довольно точно описать, пользуясь нормальным (гауссовым) распределением.

Алгоритм обработки результатов при нормальном распределении результатов.

  1. Находим среднее арифметическое результатов ряда измерений .

  2. Находим остаточные суммы, каждая из которых равна разности между результатом отдельного измерения и средним значением .

  3. Сумма этих остаточных сумм ρi должна быть минимальной, то есть весьма близкой к нулю (с учетом знаков) . Если это не так, то в ряду измерений имеется промах, то есть результат, который получен ошибочно. Его численное значение заметно отличается от значений других результатов. Делается анализ ряда измерений, и отмечаются подозрительные результаты.

  4. Все остаточные суммы возводятся в квадрат ρi2.

  5. Находится сумма квадратов остаточных сумм .

  6. Находим среднеквадратичное отклонение (СКО) ряда измерений . Эта формула для σ выполняется точно лишь при . Так как такого числа измерений обычно не производят, то полученный по такой формуле результат называют оценкой СКО , .

  7. Зная оценку СКО Sσ, можно вычислить величину, примерно равную интервалу . Показано, что ни одно из ρi не должно превышать интервала 3σ . Если имеется результат, для которого это условие не выполняется, то этот результат – промах. Его нужно исключить и считать, что в ряду будет результатов на один меньше. Далее придется повторить все предыдущие вычисления, так как ряд имеет меньшее число результатов и, если после новой проверки по п. 7 условие будет выполнимо для всех результатов, то можно продолжать обработку результатов.

  8. Вычисляется оценка СКО среднего арифметического ряда результатов. Эту оценку можно назвать также СКО результата измерений .

  9. Так как в ряду измерений имеется , то корректно ввести поправочный коэффициент, который бы позволил получить значение погрешности результата измерений более точно, чем погрешность, численно равная . Такому случаю при нормальном распределении результатов соответствует распределение Стьюдента (Стьюдент – псевдоним английского ученого Госсета, который будучи еще студентом применил это распределение). Используя коэффициент Стьюдента, можно определить погрешность результата для каждого конкретного ряда измерений, то есть найти наиболее вероятную погрешность окончательного результата ряда измерений , которая равна , ; t – коэффициент Стьюдента. Его значение дается в таблицах. Его значение находят по заданной вероятности результатов измерений и по числу измерений в ряду.

  10. Записываем результат измерения, который будет верным с выбранной нами вероятностью. Этот результат будет: с вероятностью p.

Пример решения задачи.

Произведено 11 измерений сопротивления резистора в ряду. Получены следующие результаты:

  1. 9791

  2. 9795

  3. 9789

  4. 9794

  5. 9796

  6. 9800

  7. 9793

  8. 9795

  9. 9765

  10. 9794

  11. 9797 Ом

  1. Находим среднее арифметическое

Rср = 9794,4 Ом

  1. Находим остаточные суммы

Сразу обращает на себя внимание результат ρ9. Это очень большая остаточная сумма по своей величине, по-видимому, это – промах. Выделим 9-й результат.

  1. Находим сумму всех ρ. Она оказывается из-за девятого результата весьма большой и далекой от 0. Проверим общую сумму, отбросив девятый результат. В этом случае сумма ρ оказывается равна 0. Это еще раз подтверждает, что девятый результат измерений следует исключить даже без проверки на критерий 3σ.

Итак, в ряду осталось 10 результатов. Для них следует посчитать Rср. Приведенное ранее Rср как раз и соответствует числу измерений, равному 10, следовательно, повторять измерения по отысканию Rср не будем.

  1. Возводим все ρi в квадрат.

  2. Находим .

  3. Находим оценку СКО:

Проверим для верности наличие промахов в прежнем ряду. По подсчетам , что гораздо меньше, чем 29, что соответствует ρ9.

  1. Находим СКО среднего арифметического:

Задаемся вероятностью, что полученный результат окажется в интервале, определяемом вычисленной погрешностью .

Вероятность р = 0,95.

Коэффициент Стьюдента для n = 10 и p = 0,95 равен 2,3. Тогда действительное значение .

Тогда окончательный результат должен быть в виде:

р=0,95.

Возможна и другая запись:

с вероятностью р = 0,95.

Второй вариант этой же задачи, если не считать девятый результат промахом:

R

9791

-0,727

0,5285

9795

3,273

10,713

9789

-2,727

7,437

9794

2,273

5,167

9796

4,273

18,259

9800

8,273

68,44

9793

1,273

1,62

9795

3,273

10,71

9765

-26,727

714,33

9794

2,273

5,167

9797

5,273

27,81

0

=0

=0

=9791,7

= 9,328;

; промаха нет.

=2,813;

=2,232,813 = 6,272;

;

.

Задача на дом.

Напряжение источника измеряется вольтметром. Получили результаты 5,50; 5,25; 5,75; 5,40; 5,60; 5,21; 5,73; 5,28; 5,49; 5,80. Коэффициент Стьюдента t = 2,3; p = =0,95; n = 10.

Разобранный пример является наиболее простым, однако на практике возможны более сложные случаи. Например, когда нужно измерить сопротивление резистора методом амперметра и вольтметра, или измерить мощность, потребляемую нагрузкой (сопротивлением), также методом амперметра и вольтметра. Это случай косвенных измерений. В этом случае получают ряд показаний амперметра, столько же показаний даст вольтметр (если цепь постоянного тока). В случае цепи переменного тока ряд показаний даст и фазометр. Задача определения результата измерений усложняется как по вольтметру, так и по сложности. В этом случае приходится находить среднее арифметическое результатов каждого ряда измерений (I, U, φ). По алгоритму, приведенному выше, вычислить окончательную случайную погрешность измерений I, U, cos φ: .

Далее вычислить погрешность результатов измерений:

Тогда, в этом случае, результат измерения:

.