25. Асимптоты графика функции

Определение1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов

или равен или .Определение 2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если ( ).Теорема. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при ( ),необходимо и достаточно, чтобы

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, например, - наклонная асимптота графика функции при . Тогда из равенств

в силу (1) следует (2). Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Действительно, если имеют равенства (2), то из второго из них следует (1), т.е. - наклонная асимптота графика функции при

26. Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.

27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры .Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Если функция непрерывна в точке , то она называется точкой непрерывности функции . В противном случае, точка называется точкой разрыва функции .Замечание 2. Если – точка разрыва функции , то либо предел не существует, либо он существует, но .Определение 2. Пусть – точка разрыва функции . Если оба односторонних предела и существуют и конечны, то она называется точкой разрыва 1-го рода Определение 3. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.Замечание 4. Иными словами точка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.

28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.

29. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке ( ) и на концах его принимает значения разных знаков ( ). Тогда найдется такая точка , в которой функция обращается в нуль:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что

Разделим отрезок на два средней его точкой . Тогда либо в этой точке имеет место равенство (1), либо на концах одного (и только одного) из отрезков , ,

функция будет принимать значения разных знаков, причем, в силу (2), отрицательное значение – на левом конце и положительное – на правом. В случае реализации второй из указанных возможностей обозначим тот из отрезков (3), на концах которого функция принимает значения разных знаков, через . Таким образом, будем иметь:

Разделим теперь пополам отрезок . Тогда опять-таки, либо в точке имеет место равенство (1), либо на концах одной из его половин функция принимает значения разных знаков. При реализации второй из этих возможностей обозначим через ту из этих половин, для которой

Продолжая описанный процесс деления отрезков пополам и далее, либо через конечное число шагов мы обнаружим, что в точке деления очередного отрезка функция обращается в нуль и тем самым завершим доказательство теоремы, либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , длины которых стремятся к нулю при ,

при этом на концах каждого из этих отрезков функция принимает значения разных знаков, а именно,

По лемме о вложенных отрезках рассматриваемые отрезки имеют единственную общую точку , при этом Тогда переходя в неравенствах (7) к пределу при , с учетом непрерывности функции на отрезке и, в частности, непрерывности ее в точке , получим и, следовательно, , причем из неравенств (2) следует, что