1. Общие понятия теории рядов. Свойства рядов. Необходимы признак сходимости числового и функционального ряда

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Ряд может быть - числовым; знакопостоянным; знакопеременным; знакоположительным; знакочередующимся; функциональным; степенным; тригонометрическим.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)где , , ,…, ,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда. Суммы

…………..

,составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда. Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е. и .Эта запись равносильна записи .Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Простейшие свойства рядов

     Теорема 1. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить в конечные группы и составить ряд из сумм этих групп, то он будет сходиться и иметь сумму, равную сумме первоначального ряда.      Иначе говоря, если a₁ + a₂ + a₃ + ... = S    и n₁ < n₂ < n₃ < ..., то

    

     Теорема 2. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то вновь полученный ряд будет сходиться, и его сумма будет равна сумме первоначального ряда, умноженной на то же число.     Иначе говоря, если a₁ + a₂ + a₃ + ... = S,    то ca₁ + ca₂ + ca₃ + ... = cS.    

     Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: .Придавая определенное значение , получим числовой ряд ,который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2. Ряд Фурье для периодической функции

3. Раложение периодической функции на интервале

4. Разложение периодической функции на интервале [-l; l]

5. Разложение чётной периодической ф-ии на интервале [0;π]

6. Разложение нечётной периодической ф-ии на интервале [0;π]

7. Разложение ф-ии в ряд по ф-иям ортогональной системы

8. Разложение ф-ии в ряд по sin на интервале [0;π]

9. разложение ф-ии в ряд по cos на интервале [0;π]

10. Представление ф-ий в виде интеграла Фурье

10. Понятие о преобразовании Фурье

10. Виды уравнений математической физики

10. Уравнение колебаний. Начальные и граничные условия задачи Каши.

10. Метод Даламбера решения уравнений колебаний для бесконечной струны

10. Метод Фурье решения однородного уравнения колебаний для конечной струны.

10. Метод Фурье решения теплопроводности для конечного стержня.

10. Предмет теории вероятности, относительная частота, понятие статистической устойчивости.

Многие явления экономической и общественной жизни носят случайный характер. Во время исследования таких явлений уже давно было отмечено, что в массовых случайных явлениях имеются определенные закономерности, что означает, что если конкретный результат случайного явления предсказать невозможно, то, если это явление повторить массово, тогда можно делать конкретные выводы.

Если провести большую серию экспериментов n случайно, и среди них зафиксировать количество m происхождений конкретного события, то w = m/n – относительная частота

Статистическая устойчивость — исходное предположение в теории вероятностей, согласно которому массовые случайные явления при неизменных условиях обладают закономерностью статистического характера: «частота события статистически колеблется около некоторого числа, называемого вероятностью события».