4. Уравнение движения водного потока

Подстановка в уравнение (2.4), выражающее закон изменения количества движения (импульса), значений действующих сил в про­екции на направление движения (ось л: на рис. 2.3, б) позволит получить следующее выражение:

^m = F'- Т_шо -АР + 7;_етр, (2.28)

at

где активные силы представлены первым, третьим и четвертым членами правой части уравнения. Перед АР поставлен отрицатель­ный знак, поскольку положительное ускорение (dv/dt> 0) объем

воды может приобрести лишь при уменьшении давления вдоль потока, т. е. когда ДРсО. Трение на дне всегда направлено навстре­чу движению и поэтому Т_то также имеет отрицательный знак. Силы центробежная и Кориолиса в уравнение (2.28) не включены, по­скольку они действуют в поперечном направлении к потоку, а од­номерное уравнение (2.28) рассматривает лишь продольный баланс сил в водном потоке.

В реальных условиях всегда преобладает действие каких-либо определенных сил, поэтому движение воды можно классифициро­вать и по важнейшим активным силам, вызывающим движение.

Движение воды, обусловленное действием продольной состав­ляющей силы тяжести, связанной, в свою очередь, с наклоном водной поверхности, называют гравитационным. Такой вид движе­ния преобладает в реках, ледниках, безнапорных подземных водах. Движение воды в артезианских бассейнах, обусловленное градиен­тами давления, называют напорным. Если градиенты давления и уров­ня воды создаются разностью плотностей, то возникает плотност- ное движение вод, характерное для озер, океанов и морей. Течения, обусловленные влиянием трения о движущуюся среду (ветер создает движение в поверхностном слое воды, одно течение может вызвать новое, вторичное течение), называют фрикционными. Такие течения встречаются в океанах, морях, озерах, а также и в реках. Кроме перечисленных часто выделяют в самостоятельный вид инерционное движение воды, встречающееся во всех водных объектах в тех случаях, когда перестает действовать или ослабевает одна из активных сил.

В реальных водных объектах обычно действует сразу несколько активных сил, поэтому фактическое движение воды может иметь весьма сложную физическую природу.

В качестве примера рассмотрим весьма часто встречающиеся в природе гравитационные движения воды, и то лишь для про­стейшего случая равномерного движения (dv/dt=Q). При равно­мерном движении действующие в потоке силы уравновешивают друг друга, левые части уравнений (2.4) и (2.28) равны нулю, т. е. имеем 1LF- 0.

Если действуют лишь силы F' и Т_шо, то из (2.28) получим простое соотношение:

F'= T_mo. (2.29)

Для выделенного на рис. 2.3 объема воды F'=mgI=pgAxBhI, а значение Г_дно, как было показано выше, будет иметь разное выра­жение для условий ламинарного и турбулентного режимов (см. фор­мулы (2.24) и (2.25)). Заменяя S на АхВ, подставляя значения F' и Т_т0 в (2.29) и решая полученные уравнения относительно скоро­сти течения v, получим две зависимости: для ламинарного потока

v = gh²I/av, (2.30)

а для турбулентного

v = y]ghI/f_wo. (2.31)

Эти зависимости ртражают принципиально различную связь между определяющим гравитационное движение воды уклоном водной поверхности и скоростью потока: при турбулентном режиме скорость течения пропорциональна корню квадратному из уклона, при ламинарном — первой степени уклона (и к тому же зависит от вязкости воды). Ламинарное гравитационное движение воды харак­терно для перемещения грунтовых вод в мелкопористых грунтах и для ледников, турбулентное гравитационное движение воды — типичный случай течений в реках.

Зависимость (2.30) — типа формулы Пуазеля, выведенной им для ламинарного движения воды в трубах. Частными случаями зависимости (2.30) являются формула Лагалли для движения льда в ледниках у_л=кИ²_я1 (см. гл. 4) и формула Дарси для движения грунтовых вод у_ф = к_ф1 (см. гл. 5).

Зависимость (2.31) —типа формулы Шези, широко использу­емой для расчета движения воды в реках и каналах (см. гл. 6). Формула Шези у = С ЛИ может быть получена из зависимости (2.31) путем замены ^g/f_mo - С, где С — коэффициент Шези.