Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в системы счисления 4, 8, 16.

Кроме двоичной в ЭВМ используются так же системы счисления с основанием, являющейся целой степенью числа 2.

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2³). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной - слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части - слева, в дробной - справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

P	2	00	01	10	11
	4	0	1	2	3

P	2	000	001	010	011	100	101	110	111
	8	0	1	2	3	4	5	6	7

P	2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
	16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Пример 3

Перевести из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11₍₂₎.

0011 1101 0101,1100₍₂₎ = 3D5,C₍₁₆₎.

Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 таблицы представлены ниже.

P=2

+	0	1
0	0	1
1	1	10

	0	1
0	0	0
1	0	1

P=8

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Пример 3

Сложить числа: а) 10000000100₍₂₎ + 111000010₍₂₎ = 10111000110₍₂₎. б) 223,2₍₈₎ + 427,54₍₈₎ = 652,74₍₈₎. 10000000100 223,2

+111000010 + 427,54

------------------- ---------

10111000110 652,74

Пример 4

Выполнить умножение: а)100111₍₂₎1000111₍₂₎=101011010001₍₂₎. б)1170,64₍₈₎  46,3₍₈₎=57334,134₍₈₎.

100111 1170,64

*1000111 * 46,3

------------- --------------

100111 355 234

+ 100111 + 7324 70

100111 47432 0

100111 -------------

------------- 57334,134

101011010001

Представление в компьютере целых и вещественных чисел.

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000₂ до 11111111₂ , а в двубайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” - единицей.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины.

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы - нулями.

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

При их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 - целое, а числа 5.1 и 5.0 - вещественные.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 можно в этой форме представить так:

1.25*10⁰ = 0.125*10¹ = 0.0125*10² = ... ,

или так:

12.5*10^–1 = 125.0*10^–2 = 1250.0*10^–3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде:

N = M * q^p, где M называется мантиссой числа, а p - порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M из [0.1, 1).

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание - в десятичной системе.

Примеры нормализованного представления:

Десятичная система                 Двоичная система

753.15 = 0.75315*10³;          -101.01 = -0.10101*2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀)

-0.000034 = -0.34*10^-4;         -0.000011 = 0.11*2^-100 (порядок -100₂ = -410)

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

· Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

· Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.