74. Несобственные интегралы. Классификация и способы вычисления.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a, b].
Определение
несобственного интеграла первого рода.
Пусть функция f(x)
определена на полуоси
и
интегрируема по любому отрезку [a,b],
принадлежащему этой полуоси. Предел
интеграла
при
называется
несобственным интегралом функции f(x)
от a
до
и
обозначается
.
Итак, по определению,
.
Если этот предел существует и конечен,
интеграл
называется
сходящимся; если предел не существует
или бесконечен, интеграл называется
расходящимся.
Определение
несобственного интеграла второго рода.
Интеграл вида:
,
где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва
2 рода. Называется несобственным
интегралом 2 рода.
Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.
Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.
Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.
Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.
Для
несобственных интегралов применимы
формулы интегрирования по частям и
замены переменной:
;
при замене переменной несобственный
интеграл может преобразовываться в
собственный.