15,16. Прямая и обратная геодезическая задачи

а). Прямая

Х_В

Х

Дано: X_A, Y_A, _AB, d_AB

В

Определить: X_B, Y_B.

Х

d_АВ

_АВ

А

Х_А

Y_В

Y_А

Y

Y

Рис.11. Прямая и обратная геодезические задачи

Решение: X_B=X_A+d_AB^. cos _AB=X_A+X,

Y_B=Y_A+d_AB^. sin _AB=Y_A+Y,

где X и Y - приращения координат, т.е. проекции горизонтального проложения на соответствующие оси координат.

Контроль вычислений координат выполняют по формуле

б). Обратная геодезическая задача

Дано: X_A, Y_A, X_B, Y_B.

Определить: _AB, d_AB.

Решение: _AB - r = arctg (Y/X),

Контроль: d ^. cos  + X_A = X_B, d ^. sin  + Y_B = Y_B.

Примеры:

1. Определите координаты точки В, если X_A=Y_A=100м, _AB=315 , d_AB=100м (sin 315 = -0,70711, cos 315 =0,70711).

Решение: X_B=X_A+d_AB ^. cos_AB=170,71 м, Y_B=Y_A+d_AB ^. sin _AB= 29,29 м.

2. Определите дирекционный угол направления ВС и горизонтальное проложение ВС, если XВ=YВ=1000м, XС=1100м, YС=900м.

Решение:

_ВС r_ВС=arctg{(Y_C-Y_B)/(X_C-X_B)}=45 СЗ, _ВС=360 -45 =315 , м

17.Понятия об уравнеинях геодезических измерений.

Уравнивание геодезических измерений – совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнвиания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям).

Уравнивание геодезических измерений бывает строгое и упрощенным (нестрогое). В случае строгого уравнивания поправки обычно определяют с помощью метода наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов всех поправок была наименьшей. Определяемые и такого уравнивания поправки имеют вероятнейшие (оптимальные) значения. Применение метода наименьших квадратов к уравниванию измеренных величин вполне законно только в том случае, когда ошибки их имеют случайный характер.

Так, в простейшем примере плоского треугольника сумма углов должна строго равняться 180°. Измеренные углы вследствие ошибок измерения этому условию, вообще говоря, не удовлетворяют и должны быть исправлены прибавлением соответствующих поправок. Из всего бесконечного множества поправок, которые приводят сумму измеренных углов к 180°, лишь одна система поправок обладает тем свойством, что сумма квадратов их есть минимум; такая система считается вероятнейшей. В приведённом примере это имеет место, если невязку разложить поровну на все три угла. Строгое уравнивание геодезических сетей, особенно больших по размерам, сопряжено с рядом трудностей технического и организационного характера. Поэтому на практике часто применяются упрощенное (нестрогое) уравнивание, при котором все геометрические условия выполняются, а вероятнейшие значения величин и оценка точности получаются приближенно. В геодезической практике как при строгом, так и при упрощённом уравнивании широко используются главным образом два способа уравнивания: способ условных измерений и способ посредственных измерений. При первом способе поправки отыскивают непосредственно к измеренным величинам, при втором – к их функциям (как правило, координатам). Всякий способ уравнивания состоит из следующих основных процессов: предварительных вычислений, составления условных уравнений или уравнений погрешностей, составления нормальных уравнений, решения нормальных уравнений и оценки точности измеренных и уравненных величин. При большом числе нормальных уравнений наиболее трудоёмкой частью уравнительных вычислений является их решение, поэтому оно обычно осуществляется на ЭВМ. Уравнения могут решаться методом последовательного исключения неизвестных (схема Гаусса) или методом итерации (приближений). Иногда нормальные уравнения не составляют, в этом случае неизвестные определяют непосредственно из решения или условных уравнений, или уравнений погрешностей. В некоторых случаях при обработке материалов геодезических измерений невысокой точности уравнивание результатов выполняют графическим способом. В геодезической практике применяются различные способы уравнивания: параметрический, коррелатный, комбинированный, рекуррентный, параметрический способ с зависимыми переменными, коррелатный способ с дополнительными параметрами, способ последовательных приближений и др.