12. Катушка со стальным сердечником. Форма кривых тока, напряжения и потока (питание от источника напряжения). См 11 !!

Намагничивание от источника синусоидального тока.

Если требуется найти кривую напряжения на катушке с ферромагнитным сердечником и известным синусоидальным током i(t)=I_msin(ωt), то пренебрегая влиянием вихревых токов и гистерезисом  при графическом решении сначала строят кривую потокосцепления (рис. 8.46). Графически дифференцируя кривую потокосцепления, находят искомую кривую напряжения. При этом вследствие затупленной формы кривой потокосцепления кривая напряжения имеет весьма заостренную форму и искажена значительно больше, чем кривая тока в предыдущем случае.

При аналитическом расчете реальную характеристику Ψ(i) или Φ(i) аналитически аппроксимируют полиномом Φ(i)=b₁i-b₃i³ ( коэффициенты b₁ и b₃  в простейшем случае находят из рассмотрения рабочего участка, определяемого амплитудой входного напряжения). Так как i(t)=I_msin(ωt),  то Φ(t)=b₁I_msin(ωt)-b₃(I_msin(ωt))³. С учетом того, что , мгновенное значение потокосцепления

При аналитической аппроксимации полиномом кривая потокосцепления содержит первую и третью гармоники Ψ(t)=Ψ_1msin(ωt)+Ψ_3msin(3ωt). Напряжение на катушке u(t)=dΨ/dt, т.е. u(t)=ωΨ_mcos(ωt)+3ωΨ_3mcos(3ωt)=U_1mcos(ωt)+U_3mcos(3ωt).

Рис. 8.46

13. Расчет нелинейных магнитных цепей методом кусочно-линейной аппроксимации.

При кусочно-линейной аппроксимации характеристики Ψ(i) или i(Ψ)  заменяют отрезками прямых. На каждом участке задача решается как линейная, результирующая кривая тока или напряжения катушки состоит из частей отдельных синусоидальных кривых, сопряженных в углах отсечки ( в угловых единицах моменты перехода в одного участка линейности не другой).  Наиболее эффективен метод в случае, если отрезки прямых могут быть взяты параллельными или совпадающими с осями координат. Расчеты цепи, проведенные при прямоугольной аппроксимации, дают возможность получить численные соотношения между электрическими величинами при максимально возможной степени нелинейности.

На рис. 8.47 изображена идеальная кривая намагничивания, индуктивный элемент с такой характеристикой представляет собой магнитный ключ. На рис 8.48 показана схема цепи, содержащая нелинейный индуктивный элемент и линейный резистор.

Рис. 8.47	Рис. 8.48

Пусть на входе цепи – источник напряжения u(t)=U_msin(ωt). На участке 1-2   -Ψ_s ≤ Ψ≤ Ψ_s  ток в цепи i(t)=0  и все напряжение приложено к нелинейной катушке . Потокосцепление меняется по косинусному закону . Константа С выбирается из условия, что при t=0 Ψ(0)=-Ψ_s, т.е. -Ψ_m+C=-Ψ_s и C=-Ψ_s+Ψ_m. При ωt=θ_α потокосцепление станет равным Ψ_s, на участке 2-3   θ_α ≤ ωt ≤ π  потокосцепление меняться не будет Ψ=Ψ_s и напряжение на нелинейной катушке u_L(t)=0. Переход на горизонтальный участок означает скачкообразное появление тока в цепи . В силу периодичности процесса при  ωt=π  ток должен быть равен нулю. Угол насыщения θ_α  может быть определен из условия Ψ(θ_α)=Ψ_s, т.е. . В силу периодичности процесса участки 2-1 и 1-4 рассчитываются аналогично. На рис.8.49 изображены кривые потокосцепления, напряжения на катушке и тока в цепи.

Рис. 8.49