13. Метод приведеного градієнта (метод Якобі).

Метод Якобі може бути використаний для дослідження чутливості оптимального значення f м малим змінам у правих частинах обмеження. Припустимо, наприклад, що в правій частині i-го обмеження gi(x)=0 фігурує величина , а не нуль. Як це відіб'ється на оптимальному значенні f. Дослідження такого роду носять назви аналізу чутливості; вони мають визначену подібність з відповідними процедурами в лінійному програмуванні. Однак слід зазначити, що результати, одержувані при аналізі чутливості в нелінійному програмуванні, справедливі лише для малої околиці екстремальної крапки, і обумовлені можливістю локальної лінеаризації. Проте, знайомство з такими процедурами виявляється корисним при вивченні методу множників Лагранжа. Вище було показано, що

Нехай ; тоді

Підставивши останнє вираження в рівняння для одержавши рівняння

що відповідає введеному раніше визначенню. Вираження для (Y,Z) може бути використане при аналізі змін у припустимій околиці крапки Х⁰, викликуваних такими змінами і . В екстремальній (точніше, у будь-якій стаціонарній) крапці Хо=(Уо, Zо) приведений градієнт повинний звертатися в нуль. Таким чином, у крапці Хо справедлива рівність

чи

Отже, вплив малих змін на оптимальне значення f можна досліджувати шляхом оцінювання швидкості зміни f стосовно змін д. Ці величини звичайно називають коефіцієнтом чутливості.

В екстремальній крапці коефіцієнти не залежать від конкретного вибору перемінний, формуючий вектор Y. Це обумовлено тим обставиною, що вираження, що визначає коефіцієнти чутливості, не містять Z.

Тому розбивка вектора Х на Y і Z у даному випадку не є істотним чинником. Таким чином, зазначені коефіцієнти залишаються постійними при будь-якому виборі вектора Y. Вище показано, що коефіцієнти чутливості

можна використовувати для дослідження впливу малих змін у правих частинах обмежень на оптимальне значення f. Крім того, було так само відзначене, що ці коефіцієнти є постійними величинами. Перераховані властивості коефіцієнтів чутливості виявляються корисними при рішенні задач з обмеженнями у виді рівностей. Нехай відкіля .

Це рівняння відбивають необхідні умови стаціонарності крапок, тому що формула була отримана з урахуванням припущення про те, що . Рівняння можна записати в більш зручній формі, якщо перейти до часток похідним по всім Xj, що приводить до системи J=1,2…n

Отримані рівняння разом з обмеженнями g=0 дають можливість визначити припустимі вектори х і , що задовольняють необхідні умови стаціонарності.

14. Допустимий план розв’язку задач лінійного програмування, опорний та оптимальний плани.

Для загальної задачі лінійного програмування використовуються такі поняття:

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень та умови невід’ємності змінних, називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи у вигляді рівностей, а також обмеження щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція досягає максимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

15. Дробово-лінійна модель, та її використання для визначення показників рентабельності економічних систем.

Р

озв’язуючи економічні задачі, часто як критерії оптимальнос­ті беруть рівень рентабельності, продуктивність праці тощо. Ці показники математично виражаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так (розглянемо задачу визначення оптимальних обсягів виробництва продукції): позначимо через прибуток від реалізації одиниці -го виду продукції, тоді загальний прибуток можна виразити формулою: ; якщо — витрати на виробницт­во одиниці -го виду продукції, то — загальні витрати на виробництво. У разі максимізації рівня рентабельності вироб­ництва цільова функція має вигляд: за умов виконання обмежень щодо використання ресурсів: ; .

Передбачається, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю.

Очевидно, що задача відрізняється від звичайної задачі лінійного програмування лише цільовою функцією, що дає змогу застосовувати для її розв’язування за певного модифікування вже відомі методи розв’язання задач лінійного програмування.