1.Економіко-математична модель. Класифікація моделей
Математ моделлю назив аналітичні співвідношення між величинами, які найбільш суттєво х-зують модельовану ек сист обо ек процес.
Ці аналіт співвідношення можуть бути задані у вигляді:
сист лін р-нянь
сист нелін р-нянь
сист диф рівнянь
сист р-нянь з ознакою стохастичності (ймовірності)
Ці моделі можна подати у діаграмі:економіко-математ моделі поділ на детерміновані та стохастичні. Ці 2 категорії поділяються на дискретні та неперервні. Дискретні та неперервні поділ на лінійні та нелінійні.
Лініййне програмування – окремий напрямок ек-матем. моделі, де використовуються теоретичні математичні методи побудови цих моделей з метою досягнення певної цілі.
Матем моделі і задачі лін програм можна поділити на де терм та стохастичні.
Детерміновані- коли серед змінних та параметрів цієї моделі відсутні ел стохастичності.
Стохаст – присутні ел. стохастичності
Моделі поділ на дискретні та неперервні. Дискретна – вел, що входять в цю модель можуть набувати дискретних значень (числа). Неперервні – вел є неперервними (заповнюють певний інтервал).
2. Геометрична інтерпретація роз’язку цілочислових задач лінійного програмування.
Геометричну інтерпретацію задач лін програм можна наглядно зобразити лише в тому випадку, якщо число невідомих дорівнює 2. (мал. Сист корд.+опис)
Розв’язок:
Беремо систему координат і будуємо прямі системи нерівностей. Також враховуємо, що х1 та х2 повинні бути більше 0.
Визначаємо півплощини , що відповідають кожному обмеженню задачі. Записуємо ОДР
Знаходимо координати вершин
Будуємо градієнт с(с1с2). Цільова функція буде перпендикулярна до нього.
багатокутником
розв’язків, або областю допустимих
планів (розв’язків) задачі лінйного
програмування.
3. Глобальний та умовний екстремуми цільової функції. Необхідна умова існування екстремуму.
Екстремум – найбільше та найменше значення функції на заданій множині.
Розрізняють:
локальний – екстремум в деякому довільно малому околі даної точки
глобальний – екстремум в усій розглядуваній області значень функцій
Нехай на L визначена функція y=f0(x). Точка x0 є E називається точкою умовного екстремуму функції L відносно рівнянь зв'язку.
Достатня умова умовного екстремуму/ У функції Лагранджа ми записуємо матрицю Н*, яка складається із нульової матриці(О), матриці (Р) частинних похідних част порядку по g(x). Якщо мінори цієї матриці утворюють почергову знакозмінну, то точка є точкою максимуму. Якщо знак зміни не відбувається – точка мінімуму. Але якщо знак не можна встановити, то визначена точка екстремумом не буде, а функція буде монотонно-зростаючою чи монотонно-спадною.
4. Математичний інструмент, який використовується для побудови економіко-математ. Моделей.
Використовують різні методи розв’язку задач:
сист лін р-нянь та їх розв’язки
метод Жордана-Гаусса
метод оберненої матриці
розв’язування сист лін р-нянь.
При побудові лін мат моделей використовують ел лінійної алгебри.
Якщо задана така сист лін р-нянь.
То ми записуємо дану систему рівнянь у векторній формі: вектор А-коеф,які стоять при невідомих, вектор х- невідомі х, вектор b- b1..bn.
Використовуючи метод Жордана-Гаусса ми можемо визначити вільні та базисні вектори.
Теорема Кронекера-Капеллі: якщо ранг=кількості коефіцієнтів розширеної матриці і = порядку системи, то тоді система має 1 розв’язок.
Щоб знайти розв’язок за допомогою оберненої матриці потрібно розв’язати ор-ня: векторх = А-1*b.
5. Метод розв’язку задач цілочислового лінійного програмування.
Для розв’язку задач цілочислового програмування найчастіше використовується метод Гоморі. Суть його полягає ось в чому:
Спочатку знаходимо розв’язок послабленої задачі, тобто такої, що не має умови цілочисельності.. Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, тот цей план є оптимальним планом задачі цілочислового програмування.
Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирається змінна, яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної (елементів відповідного рядка останньої симплекс таблиці, в якому вона міститься) будується додаткове обмеження Гоморі:
де
символ {} позначає дробову частину
числа. Для визначення цілої част від
цього числа віднімають найбільше ціле
число, що не перевищує даного.Додаткове обмеження після його зведення до канонічного виду приєднується до останньої симплекс таблиці.І ми знаходимо цілочислові розв’язки.