41. Законы сохранения физических величин в формализме Гамильтона

Если частица движ. центр.симетр. в пот. поле то в этом случае выполн. з-н сохр. 3-ей компоненте мом. импульса. Аналог.образом м-но показ. что явлсохран. велич. независ. от врем. =const

В случае дв-я частицы в центр.симетр. пот. поля выполн. з-н сохр. мом. импульса L как векторной велич.

З-нысохр. определ. физ. велич. тесным образом связаны со св-ми симметрии физ. сист.

33 нормальные колебания-набор характерных для колебательной системы типов гармонических колебаний. Каждое из нормальных колебаний физической системы, например, колебаний атомов в молекулах, характеризуется своей частотой. Набор частот нормальных колебаний составляет колебательный спектр. Произвольное колебание физической системы можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. Вынужденные колебания физической системы имеют резонанс на частотах, которые совпадают с частотами нормальных колебаний.. Нормальные колебания взаимно линейно независимы и взаимно ортогональны :

42. Фазовое пространство. Закон сохранения потока точек фазового пространства

Фазовое пространство это множество точек которые задается с помощью осей на которых откладываются обобщенныекоордин.

Распр. т. фазового пространства определённая физическая величина не изменяется т.е. пост.

41. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в формализме Лагранжа

Пусть частица с зарядом e находится в электромагнитном иоле, заданном скалярным φ(r,t) и векторным A(r,t) потен­циалами. Электрическое и магнитное поляЕ и B связаны с потенциалами соотношениями

Где c- скорость света. Нетрудно показать, что уравнение Лагранжа

совпадают с известными уравнениями движения

если выбрать функцию Лагранжа в виде

В функции Лагранжа слагаемые 1/2mv² и еср — это обычные кинетическая и потенциальная энергии частицы, а послед­нее слагаемое (e/c)Av, линейное по скорости, не является ни кинетической, ни потенциальной энергией. Обобщённый им­пульс

Известно, что поля Е и B, а следовательно, и уравнения движения частиц в электромагнитном поле не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, т. е. при за­мене

где f — произвольная функция координат и времени. В лагранжевом же формализме это приводит к тому, что по­тенциалам φ', A' и φ, A соответствуют лагранжианыL и L', отличающиеся на полную производную по времени от функции ef/c:

и эти лагранжианы должны быть физически эквивалентны.

42. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в формализме Гамильтона

Для нерелятивистской частицы в электромаг­нитном поле

В релятивистском случае

Фотон (квант света) — это релятивистская ча­стица с массой m = 0 и зарядом e = 0. Согласно преды­дущему примеру, его функция Гамильтона для движения в вакууме равна H(p, r) =c|p| .

Распространение света в прозрачной изотропной среде с по­казателем преломления n(r) в приближении геометрической оптики определяется функцией Гамильтона

Уравнения Гамильтона имеют вид

Фактически в геометрической оптике „частицей" является волновой пакет, r(t) есть закон именно его движения, r — это групповая скорость, а вектор р, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор электромагнитной волны

37. Вариационный принцип в формализме Гамильтона. Уравнения движения механической системы в канонической форме.Функция Гамильтона: (1)

Вариационный принцип или принцип наименьшего действия Гамильтона: действие S для истинного движения материальной точки, траектория которого в начальный и конечный моменты времени проходит через две определенные точки, принимает минимальное значение по сравнению с любыми виртуальными движениями, траектории которых в указанные моменты времени проходят через те же две точки.

Поскольку операция варьирования перестановочна с операцией дифференцирования по времени, то мы можем перенести δ под интеграл и варьировать функцию Лагранжа под интегралом.

Воспользуемся определением функции Гамильтона через функцию Лагранжа (1)

Во втором слагаемом действие производной по времени можно перенести на 1 множитель

Поскольку обобщенные координаты и обобщенные импульсы независимы друг от друга и вариации от обобщенных координат и обобщенных импульсов будут независимы друг от друга. Поскольку пределы интегрирования выбраны произвольным образом, то S по времени =0, если подынтегральное выражение будет=0.