2. Определитель квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице A порядка n с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, которое называется определителем матрицы А. Общее выражение для определителя матрицы n-го порядка обычно дается в виде:

det[A] =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann

= Σ(-1)e a1α1a2α2. . . anαn     (1)

В правой части стоит сумма произведений вида a_1α1a_2α2. . . a_nαn Каждое такое произведение по определению должно содержать элементы матрицы a_ij расположенные в различных строках и различных столбцах. Иначе говоря, содержащее по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Это значит, что среди всех первых индексов, как и среди всех вторых индексов не должно быть одинаковых. Если расположить первые индексы в порядке их возрастания, как это сделано выше, то совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку (α₁, α₂, ..., α_n) множества чисел от 1 до n. Так как число всех перестановок из n чисел равно n! (n факториал), то можно образовать такое же количество; произведений a_1α1a_2α2. . . a_nαn из элементов данной матрицы(при нулевых элементах некоторые из них равняются нулю). Определитель равен сумме всех таких произведений, взятых со знаком (-1)^e где е - число инверсий перестановки вторых индексов (α₁, α₂, ..., α_n). Вместо множителя (-1)^e можно писать знак sgn(α), который положительный для четного числа инверсий и отрицательный для нечетного числа инверсий в перестановке номеров вторых индексов (α₁, α₂, ..., α_n). Порядок определителя совпадает с порядком его матрицы. Элементы a_ij матрицы А называют также элементами определителя |А|, а произведения (-1)^ea_1α1a_2α2. . . a_nαn -членами определителя.

Из общего правила вычисления определителя легко получить частные формулы для вычисления определителей любого порядка. Так для определителя 2-го порядка получаем следующую формулу:

det[A] =

a11 a12 a21 a22

= a11a22 - a12a22     (2)

Аналогично для определителя 3-го порядка :

det[A] =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 -a13a22a31 -a11a23a32 -a12a21a33      (3)

Как видно, индексы столбцов всех членов определителя третьего порядка определяются перестановками (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), число инверсий которых равно соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1. Общее выражение определителя n-го порядка является удобным для исследования и доказательства его свойств, но для "ручного" вычисления определителей используются другие более практичные методы, основанные на свойствах определителей.

3. Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A: 

Так как A ^{− 1}A = E, получаем X = A ^{− 1}B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.