Теория систем и системный анализ

6. Общая теория систем м. Месаровича и я. Такахары

Общая теория систем (ОТС) призвана дать средства описания и формальный метод моделирования для отражения и исследования максимально разнообразных объектов, процессов и явлений реального мира.

В данном случае мы рассматриваем системный подход и формальные методы, предложенные М. Месаровичем и Я. Такахарой.

Особенности ОТС Месаровича и Такахары (ОТС-МТ) заключаются в теоретико-множественном подходе к описанию систем, аксиоматическом введении различных свойств систем и их строгом математическом исследовании.

6.1. Определение системы в отс-мт

Формальное определение системы задается следующим образом: предполагается, что задано семейство множеств

V = {V_i : i  I},

где I – множество индексов.

Система S на V задается как некоторое отношение декартова произведения V:

S  {V_i : i  I}.

Множества V_i, i  I, декартова произведения V_i называются объектами системы S. Например, система вход-выход или “черный ящик” с двумя объектами – входом Х и выходом Y имеет вид:

S  X  Y,

где X = {V_i : i  I_x}, Y = {V_i : i  I_y}, I_x  I_y = I и I_x  I_y = .

Если S является функцией S = X  Y, то система называется функциональной.

Таким образом, система S:

- задается отношением (S  X  Y) и не обязательно является функциональной (S = X  Y), т.к. могут быть многозначные соответствия между элементами объектов X и Y;

- не может быть равна декартову произведению объектов (S = X  Y), т.к. это соответствует полной дезорганизованности и уничтожению системы.

Задание внутренней структуры системы возможно путем введения структуры для элементов v_i  V_i и введения структуры для самих объектов V_i. В первом случае получаем абстрактную временную систему, а во втором – алгебраическую систему.

Формальное определение временной системы задается следующим образом: пусть элементы объекта V есть функции (функциональные отображения) вида v : T_v  A_v, где Т – индексирующее множество, а А – алфавит объекта. Такой объект V называется функциональным объектом. Если множество элементов T_v линейно упорядочено, то его называют множеством моментов времени. Функции, определенные на множествах моментов времени, называются абстрактными функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называется временным объектом, а системы, определенные на временных объектах, - временными системами.

Например, временная система вход-выход задается следующим образом: пусть А и В – произвольные множества, Т – множество моментов времени, А^Т и В^Т – множества всевозможных отображений из Т в А и В соответственно и Х  А^Т, Y  В^Т. Тогда временной системой S над Х и Y называется отношение на Х и Y вида

S  X  Y  А^Т  В^Т.

Формальное определение алгебраической системы задается следующим образом: для объекта V определяют одну или несколько операций, относительно которых V становится алгеброй. В простейшем случае определяется бинарная операция r : V  V  V и предполагается, что существует обычно конечное подмножество W  V такое, что любой элемент v  V можно получить путем применения операции r к элементам из W и уже порожденным элементам из V. В этом случае r называется производящей функцией, W – множеством производящих элементов или алфавитом объекта, его элементы – символами, а элементы объекта V – словами. Если r есть операция конкатенации (сочленения), то слова – это просто последовательности элементов алфавита W, а V – это язык.

Определение состояния системы задается следующим образом: пусть для системы S задано произвольное множество С, а частичная функция r : (C  X)  Y такова, что

Тогда С называется объектом глобальных состояний системы, а его элементы – глобальными состояниями системы. Частичная функция r, означающая, что не для каждого значения (с, х)  C  X существует значение у  Y, называется частичной глобальной реакцией системы S. Если функция r является полной, то она называется глобальной реакцией системы S, т.е.

r : C  X  Y.

Начальным состоянием С₀ и начальной реакцией r₀ системы S называются объект глобальных состояний и глобальная реакция этой системы в момент времени t₀:

r₀ : C₀  X₀  Y,

удовлетворяющие условию

Подобным образом можно определить состояние C_t и реакцию системы r_t в момент времени t:

r_t : C_t  X_t  Y,

что

Тогда семейство всех состояний системы есть

а семейство всех реакций системы есть