- •1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.
- •Частные решения волнового уравнения.
- •Параметры плоской волны.
- •Фазовая скорость.
- •Групповая скорость.
- •Поперечность световых волн.
- •11.2. Гармоническая волна
- •11.3. Волны в пространстве
- •11.4. Плоские электромагнитные волны *
- •11.5. Плоская гармоническая электромагнитная волна
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •11.6. Интенсивность волны
- •11.7. Отражение электромагнитной волны от границы раздела двух сред
- •Понятие интерференции электромагнитных волн
- •Интерференция света
- •12.2. Когерентность
- •12.3. Интерференция света от двух точечных источников
- •12.4. Интерференция света в тонких пленках
- •13 * Дифракция
- •13.1. Принцип Гюйгенса — Френеля
- •13.3. Дифракция света на круглом отверстии
- •13.4. Дифракция света на щели
- •13.5. Дифракционная решетка
- •14. Поляризация света
- •14.1. Поляризация электромагнитной волны
- •14.2. Естественный и поляризованный свет
- •14.3. Поляризация света при отражении и преломлении
- •14.4. Поляризация света при двойном лучепреломлении
- •14.6. Интерференция поляризованных лучей
- •15. * Взаимодействие света с веществом
- •15.1. Дисперсия света
- •15.2. Электронная теория дисперсии
- •15.3. Групповая скорость волны
- •3.1. Возникновение волны. Группа волн
- •15.4. Поглощение света
- •Краткое математическое содержание волновой оптики
- •1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.
- •Тема 2. Поляризация света.
- •Тема 3. Излучение и поглощение света.
- •Тема 4. Отражение и преломление света.
- •Тема 5. Кристаллооптика.
- •Тема 6. Геометрическая оптика.
- •Тема 7. Спектр света.
- •Тема 8. Интерференция.
- •Тема 9. Дифракция.
- •Тема 10. Дифракционная решетка.
- •Тема 11. Голография.
- •Тема 12. Дифракционный предел разрешения.
- •Тема 13. Взаимодействие света с веществом.
- •Тема 14. Термодинамика излучения.
11.4. Плоские электромагнитные волны *
Рассмотрим электромагнитное поле в пространстве, заполненном однородным диэлектриком, в котором отсутствуют свободные заряды и электрические токи, т.е. объемная плотность связанных зарядов и плотность тока равны нулю:
ρ=0, j=0
В таком случае уравнения Максвелла (10.1) - (10.4) принимают вид
(11.12)
где
D =εE, В =μH. (10.13)
rot E
div В =0,
Для однородной среды абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества постоянны: ε = const и μ = const. При помощи
соотношений (11.13) векторы D и В удобно исключить из системы уравнений (11.12):
→ divE=0
→
→
→ divH=0
Пусть векторы Е и Н зависят только от t и у:
Е = Е(t,у), H = H(t,y) (11.15)
Покажем, что эти функции могут быть решениями уравнений (11.14), а также, что среди решений уравнений (11.14) такого вида есть функции, описывающие плоские электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль оси у.
Вычислим ротор и дивергенцию вектора E(t, у)
rot E = = +
поскольку нет зависимости от х и z то производные по х и z равны нулю
div =
С учетом этих формул подстановка векторов (11.15) в равенства (11.14) приводит к системе уравнений
Проекция ротора Е на ось х содержит лишь х-овую компоненту ротора и Н содержит лишь х-овую компоненту
= (11.16)
Проекция на ось y у ротора отсутствует а Н включает у-овую компоненту
0= (11.17)
Проекция на ось z содержит лишь z –овую компоненту ротора
- = (11.18)
Дивергенция включает только у-овую компоненту
=0 (11.19)
Ротор Н аналогично
= (11.20)
0= (11.21)
= (11.22)
Дивергенция Н аналогично
=0 (11.23)
Из уравнений (11.19) и (11.21) следует, что Еy = const. Очевидно, что постоянное электрическое поле в электромагнитной волне отсутствует. Поэтому положим
Еу = 0 (11.24)
Аналогично, уравнения (11.17) и (11.23) приводят к равенству
Нy=0. (11.25)
Оставшиеся неиспользованными уравнения можно разделить на две независимые системы. Первая состоит из уравнений (11.16) и (11.22) для функций Ez и Нх, а вторая - из уравнений (11.18) и (11.20) для функций Ех и Нг. Выпишем уравнения первой системы:
=
=
Исключим Нх из этой системы. Для этого продифференцируем уравнение (11.16) по у, а уравнение (11.22) - по i. После несложных преобразований придем к уравнению
= ; (16.26)
где
v= (11.27)
Уравнение (11.26) есть волновое уравнение. Одно из его решений, описывающих гармоническую волну, имеет вид
Ez(t,y) = Em cos(ωt-ky+а) (11.28)
где Em - амплитуда волны. Эта волна распространяется вдоль оси у в сторону возрастания у.
Функция
Ez(t,y) = Em cos(ωt + ку + а)
также является решением волнового уравнения (11.26). Эта функция есть плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль оси у в сторону убывания у.
Найдем функцию Hx(t,y), соответствующую функции (11.28). Для этого подставим выражение (11.28) в уравнения (11.16) и (11.22). Получим:
= -( кЕm/μ)sin(ωt- к у + а),
= ωεEm sin(ωt- ky +a)
Отсюда с учетом соотношений (11.6) и (11.27) найдем, что
Нх = Hm cos(ωt- ky +a) (11.29)
Нт = Ет (11.30)
В частном случае система уравнений (11.18) и (11.20) имеют нулевое
решение:
Ex = 0, Нz = 0. (11.31)
Нетрудно проверить, что функции
Ex(t,y) = Ет cos(ωt-ky+a),
Hz(t,y) = Hmcos(ωt- к у + а)
при условии (11.30) также являются решениями системы уравнений (11.18) и (11.20).
Итак, найдены решения уравнений Максвелла в виде плоских гармонических волн, распространяющихся вдоль оси у. Решениями уравнений Максвелла могут быть не только плоские гармонические волны. Вдоль оси у могут распространяться электромагнитные волны более сложной формы. Например, это может быть произвольная суперпозиция плоских гармонических волн. Для всех этих волн справедливы равенства (11.24) и (11.25). Вообще все электромагнитные волны обладают таким свойством. Проекции векторов Е и H на направление, вдоль которого распространяется электромагнитная волна всегда равны нулю. Это свойство называют поперечностъю электромагнитных волн.