4 Вопрос

Ранг матрицы. Понятие линейной зависимости и линейной независимости строк матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы А–наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг не превосходит меньшего из ее размеров; r(A)=0, когда все элементы матрицы равны 0; для квадратной матрицы n-го порядка r(A)=n, когда A-невырожденная.

Элементарные преобразования:

1. Отбрасывание нулевой строки(столбца)

2. Умножение всех элементов строки(столбца) на число, не равное 0.

3. Изменение порядка строк(столбцов матриц)

4. Прибавление к каждому элементу одной строки(столбца) соответствующих элементов другой строки(столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матриц

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки(столбцы).

Минором k-го порядка называется определитель, опирающийся на любые k строк и k стоблцов матрицы.

Минор М_n*n называется окаймляющим для минора М_(n-1)*(n-1) , если минор меньшего порядка полностью содержится в миноре большего порядка.

5 Вопрос

Решение линейных уравнений по формулам Крамера

Произвольные числа-коэффициенты при переменных(A) и свободные члены(B).

Решение системы – такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Совместная система-система, не имеющая решений;

Несовместная система - нет решений.(если ⌂=0, а ⌂₁<>0)

Определенная система - одно решение.(если ⌂=0 и ⌂₁=0)

Неопределенная - два и более.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Теорема Крамера: Пусть ⌂–определитель матрицы системы А, а ⌂_j-определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если ⌂<>0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам.

X_j=⌂_j/⌂

Метод применяется, когда m=n

6 Вопрос

Решение линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод)

Число неизвестных=числу уравнений.

X=A^-1*B

Транспонируем матрицу А, составляем (A_ij)^T

7 Вопрос

Решение линейных уравнений методом Гаусса

m линейных уравнений с n переменными

Метод последовательного исключения переменных–с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные.

8 Вопрос

Исследование систем линейных алгебраических уравнений на совместность. Теорема Кронекера – Капели.

Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк.

Теорема Кронекера – Капели.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Пусть r<n, тогда r переменных x-основные или базисные, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от 0, остальные неосновные или свободные.