1 Вопрос

Понятие матрицы, операции над матрицами

Матрица размера m*n-прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Элементы матрицы-числа, составляющие ее.

Операции над матрицами:

1. Сложение (матрицы одинаковых размеров)

2. Умножение на число

3. Умножение матриц (только если матрицы согласованные, т.е число столбцов матрицы А=числу строк матрицы В)

4. Транспонирование матриц

Виды матриц: нулевая(только 0), единичная(главная диагональ-1, остальное-0), квадратная, диагональная(главная-числа, остальное-0), верхнего и нижнего треугольного вида(главная диагональ-любые числа), ступенчатые, матрицы строки и столбцы.

2 Вопрос

Определители квадратных матриц и их свойства

Определитель матрицы n-ого порядка-число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J), где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания.

Минором M_y элемента a_y матрицы n-го порядка-определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца(у матрицы размером n*n n² миноров)

Алгебраическое дополнение А_y элемента a_y матрицы n-го порядка называется его минор,взятый со знаком (-1) в степени i+j.

Теорема Лапласа-определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения.

Свойства:

1. Если какая-либо строка(столбец) матрицы состоит из одних 0, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки(столбца) матрицы умножить на число α, то определитель умножится на это число. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

4. При перестановке двух строк(столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковых строки(столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк(столбцов) пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки(столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы другой строки(столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁, …b_n на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b₁, …b_n.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению из определителей |С|= |А|*|В|

3 Вопрос

Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А*А^-1=Е, существует, когда исходная матрица невырожденная

Невырожденная - если определитель не равен 0.

Теорема об обратной матрице: каждая квадратная невырожденная матрица имеет обратную, равную отношению транспонированной матрицы алгеброических дополнений к определителю исходной матрицы

А^-1=(A_ij)^T/ det(A)