7. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки

Рис.

Нехай задано дві точки М₁(х₁,у₁) і М₂(х₂,у₂). Рівняння прямої, що проходить через ці дві точки, запишемо як рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно вектору , який візьмемо за напрямний вектор . Тобто, вектор . Якщо М(х,у) – довільна точка на прямій l, то вектор колінеарний вектору . Тоді канонічне рівняння прямої матиме вигляд:

. (12)

Це і є рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

8. Рівняння прямої у відрізках

Рис.

Нехай пряму l задано за допомогою двох відрізків, які вона відтинає на осях Ох і Оу. Позначимо відрізки, які відтинає ця пряма на осях Ох і Оу, відповідно через a і b. (рис. ). Тоді матимемо дві точки і . Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки А і В:

, або , або (13)

Рівняння (13) і є рівнянням прямої у відрізках на осях.

9. Обчислення кута між двома прямими. Умова паралельності і перпендикулярності двох прямих

Рис.

1⁰. Прямі задано загальними рівняннями. Нехай прямі l₁ i l₂ задано рівняннями:

l₁:

l₂:

Нормальним вектором прямої l₁ буде вектор , а прямої l₂ – вектор .

Кут між векторами і (рис. ) дорівнює одному з кутів між прямими l₁ i l₂.

Тоді

. (14)

Умова паралельності двох прямих випливає з формули (14), якщо покласти або , або з умови колінеарності векторів і . Тоді маємо

. (15)

Умова перпендикулярності двох прямих випливає з формули (14), якщо покласти або ( ), або з умови перпендикулярності векторів і . Тоді маємо

. (16)

2⁰. Прямі задано канонічними рівняннями. Нехай прямі l₁ i l₂ задано рівняннями:

l

Рис.

₁:

l₂:

Напрямний вектор прямої l₁ є вектор , а прямої l₂ – вектор . Кут між двома прямими можна вимірювати кутом між їхніми напрямними векторами (рис. ).

Тоді

. (17)

Якщо прямі l₁ i l₂ паралельні, то вектори і колінеарні, отже, їхні координати пропорційні,

– умова паралельності двох прямих. (18)

Якщо прямі l₁ i l₂ перпендикулярні, то їхні напрямні вектори і також перпендикулярні, отже, їхній скалярний добуток дорівнює нулю

– умова перпендикулярності. (19)

3

Рис.

⁰. Прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами. Нехай дві прямі l₁ i l₂, які перетинаються в точці М задано рівняннями:

l₁: у=k₁x+b₁,

l₂: y= k₂x+b₂.

Знайдемо тангенс кута між цими прямими. Нехай дві прямі не перпендикулярні між собою. Інакше tg – не існує. З рис. видно, що = Тоді

. (20)

Але , , тому

Якщо дві прямі паралельні або співпадають, то отже

, . (21)

І навпаки, якщо k₁=k₂, то прямі паралельні.

Умова (14) є необхідною і достатньою мовою паралельності двох прямих.

Якщо прямі перпендикулярні, то формула (20) не має змісту. Але тоді

У випадку перпендикулярності . Звідки або 1+k₁k₂=0 , або , (22)

Можна показати, що формула (22) є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності двох прямих.