- •1. Принципи моделювання соціально-економічних систем і процесів.
- •2. Сутність економіко-математичної моделі.
- •3. Необхідність використання математичного моделювання економічних процесів.
- •4. Етапи математичного моделювання
- •5. Сутність адекватності економіко-математичних моделей.
- •7. Способи перевірки адекватності економіко-математичних моделей.
- •8. Поняття адаптації та адаптивних систем.
- •9. Сутність оптимізаційних моделей. Приклади економічних задач математичного програмування.
- •10. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування.
- •11. Модель задачі лінійного програмування в розгорнутому і скороченому вигляді, а також в матричній і векторній формах.
- •12. Властивості розв’язків задачі лінійного програмування. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування.
- •13. Означення планів задачі лінійного програмування (допустимий, опорний, оптимальний).
- •14. Побудова опорного плану задачі лінійного програмування, перехід до іншого опорного плану.
- •16. Знаходженння розв’язку задачі лінійного програмування. Алгоритм симплексного методу.
- •17. Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •18. Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі.
- •19. Економічний зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.
- •20. Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.
- •21. Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування.
- •22. Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.
- •23. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.
- •26. Геометрична інтерпретація задачі цілочислового програмування.
- •27. Метод Гоморі.
- •28. Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.
- •29. Графічний метод розв’язування задач нелінійного програмування.
- •30. Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.
- •31. Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.
- •32. Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.
- •33.Квадратична функція та її властивості.
- •34.Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель.
- •35.Градієнтні методи розв’язання задач нелінійного програмування та їх класифікація.
- •36.Метод Франка-Вульфа. Алгоритм розв’язування задачі нелінійного програмування.
- •37. Математична постановка задачі динамічного програмування, її економічний зміст. Принцип оптимальності Беллмана.
- •38. Основні рекурентні співвідношення розв’язування задач динамічного програмування.
- •39. Методи розв’язування задач динамічного програмування. Основні кроки алгоритму розв’язування задачі динамічного програмування.
- •40. Основні поняття теорії ігор. Гра двох гравців з нульовою сумою, правила гри, ціна гри, пара оптимальних стратегій для двох осіб.
- •41. Платіжна матриця. Основна теорема теорії ігор. Принцип мінімаксу.
- •42. Гра в чистих стратегіях. Поняття сідлової точки і її знаходження.
- •43. Гра 2х2 в змішаних стратегіях. Алгоритм розв’язування задачі.
- •44. Зведення гри двох осіб до задачі лінійного програмування.
- •1. Принципи моделювання соціально-економічних систем і процесів.
- •2. Сутність економіко-математичної моделі.
35.Градієнтні методи розв’язання задач нелінійного програмування та їх класифікація.
Градієнтні методи належать до наближених методів розв’язування задач нелінійного програмування і дають лише певне наближення до екстремуму, причому за збільшення обсягу обчислень можна досягти результату з наперед заданою точністю, але в цьому разі є можливість знаходити лише локальні екстремуми цільової функції. Зауважимо, що такі методи можуть бути застосовані лише до тих типів задач нелінійного програмування, де цільова функція і обмеження є диференційовними хоча б один раз. Зрозуміло, що градієнтні методи дають змогу знаходити точки глобального екстремуму тільки для задач опуклого програмування, де локальний і глобальний екстремуми збігаються.
В основі градієнтних методів лежить основна властивість градієнта диференційовної функції — визначати напрям найшвидшого зростання цієї функції. Ідея методу полягає у переході від однієї точки до іншої в напрямку градієнта з деяким наперед заданим кроком.
Розглянемо систему незалежних одиничних векторів е1, е2, е3, …, еN, які направлені в здовж вісей координат x1, x2, x3, …, xN, які є в той же час проектними параметрами. Вектор градієнта довільної цільової функції F = (x1, x2, x3, …, xN ,) має вигляд Тут - невелике зміщення в напрямку хi. Цю формулу часто називають “наближенням січної”. Отриману інформацію про напрямок градієнта можна використовувати різним чином для побудови алгоритму пошуку.
Одним з видів градієнтного методу є метод Франк6а – Вульфа
36.Метод Франка-Вульфа. Алгоритм розв’язування задачі нелінійного програмування.
Передбачає визначення оптимального плану задачі шляхом перебору розв’язків, які є допустимими планами задачі.
Нехай необхідно відшукати
за лінійних обмежень:
;
Допустимо, що Х0 — початкова точка, що належить множині допустимих планів даної задачі. В деякому околі цієї точки нелінійну цільову функцію замінюють лінійною і потім розв’язують задачу лінійного програмування. Нехай розв’язок лінійної задачі дав значення цільової функції F0, тоді з точки Х0 в напрямку F0 необхідно рухатись доти, поки не припиниться зростання цільової функції. Тобто у зазначеному напрямку вибирають наступну точку Х1, цільова функція знову замінюється на лінійну, і знову розв’язується задача лінійного програмування.
Розглянемо детальніше перехід від k-ої ітерації методу до (k + 1)-ої ітерації.
Припустимо, що відома точка Xk, яка належить області допустимих розв’язків. У даній точці обчислюємо градієнт цільової функції:
.
Значення градієнта функції задає в даній точці напрям найшвидшого її зростання.
Замінюємо цільову функцію задачі лінійною функцією виду:
.
Потім розв’язуємо задачу лінійного програмування з обмеженнями початкової задачі і новою цільовою функцією:
за умов:
;
.
Нехай розв’язком такої задачі є точка .
З початкової точки в напрямку рухаємося з деяким довільним кроком , визначаючи координати нової точки у такий спосіб:
Зауважимо, що значення параметра доцільно вибирати таким, що дає найбільше значення цільової функції початкової задачі .
Для точки Хk+1 повторюємо розглянутий процес, для чого знову розраховуємо значення градієнта і т. д.
У такий спосіб знаходимо послідовність точок , які поступово наближаються до оптимального плану початкової задачі. Ітераційний процес повторюється до того моменту, поки значення градієнта цільової функції не стане рівним нулю або виконуватиметься умова , де — досить мале число, яке означає потрібну точність обчислень.