Логические элементы и схемы. Классификация логических устройств
Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдаёт на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).
Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.
Сегодня мы изучим еще один способ представления логических выражений – логические схемы.
Существует три базовых логических элемента, которые реализуют рассмотренные нами три основные логические операции:
логический элемент «И» — логическое умножение – конъюнктор;
логический элемент «ИЛИ» — логическое сложение – дизъюнктор;
логический элемент «НЕ» — инверсию – инвертор.
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов.
Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс — логический смысл сигнала — 1, нет импульса — 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояний, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции, только представлена в форме логических схем.
С х е м а И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами |
|
С х е м а ИЛИ Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица. |
|
С х е м а НЕ Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. |
|
С х е м а И—НЕ Схема И—НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. |
|
С х е м а ИЛИ—НЕ Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ |
|
Специальных логических элементов для импликации и эквивалентности нет.
Методы минимизации логических функций
Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.
1. Закон двойного отрицания:
А
=
.
Двойное отрицание исключает отрицание.
2. Переместительный (коммутативный) закон:
А v B = B v A; — для логического сложения:
A&B = B&A. — для логического умножения:
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
(A v B) v C = A v (B v C) — для логического сложения:
(A&B)&C = A&(B&C)— для логического умножения:
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
(A v B)&C = (A&C) v (B&C); — для логического сложения
(A&B) v C = (A v C)&(B v C). — для логического умножения:
5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
=
&
;
— для логического сложения
=
v
— для логического умножения:
6. Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный):
A v A = A; — для логического сложения:
A&A = A. — для логического умножения
7. Законы исключения констант:
A v 1 = 1, A v 0 = A; — для логического сложения:
A&1 = A, A&0 = 0. — для логического умножения:
8. Закон противоречия:
A& = 0. Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
9. Закон исключения третьего:
A v = 1. Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
10. Закон поглощения:
A v (A&B) = A; — для логического сложения:
A&(A v B) = A. — для логического умножения
11. Закон исключения (склеивания):
(A&B) v ( &B) = B; — для логического сложения:
(A v B)&( v B) = B. — для логического умножения:
12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):
(A ↔ B) = (B↔ A).
13. Замена импликации А→В = v B
14. Замена эквивалениции А↔В = (А→В) &(В→А)
Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.