15. Кинетическая энергия вращения

Возьмем абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1). Разобьем тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,..., m_n , находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси. 

Рис.1

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси каждый из его элементарных объемов массами m_i опишет окружность соответствующих радиусов r_i; при этом объем будет иметь соответствующую линейную скорость v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:  (1) Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:  или   Используя выражение (1), получаем  где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела  (2) Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии поступательно движущегося тела (T=mv²/2), мы видим, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.В качеcтве примера напишем формулу для плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения. Его энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:  где m - масса катящегося тела; v_c - скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.

16. Момент импульса. Тензор инерции.

Момент импульса тела относительно неподвижной точки - важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек: (2.1) Здесь   - импульс элементарной   в лабораторной системе XYZ, а   - радиус-вектор массы   с началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела.С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости  Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы   укрепленные на концах невесомого стержня АВ (рис. 2.В). Стержень с массами вращается с угловой скоростью   вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае (2.2)Здесь учтено, что   а  Рис. 2.3.Существенно, что в этом примере вектор L, направлен так же, как и   К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень АВ с двумя массами   на концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом   к ней и лежит в плоскости Oyz. При вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью   вектор L, определенный по (2.1), будет находиться в плоскости Oyz и составит угол   с осью z. Система xyz, введенная в начале лекции 1, жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор Lостается в плоскости Oyz, а в лабораторной системе движется по конической поверхности с углом полураствора  Рис. 2.4.Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.Пусть   - радиус-вектор элементарной массы   твердого тела, а   - угловая скорость. Тогда

(2.3)

Векторы   и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции   являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L, оказываются проще.

Итак, в системе xyz (2.4)Тогда, продолжая (2.3), можно записать: (2.5)Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в следующем виде: (2.6)

(2.7)

(2.8)

Или

(2.9)

(2.10)

(2.11)

где   - 9 компонент так называемого тензора инерции   твердого тела относительно точки О: (2.)Диагональные элементы тензора   называются осевыми моментами инерции, недиагональные элементы   называются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что   Такой тензор называют симметричным.

Если координатам x, y и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (2.9-2.11) можно представить в виде (2.13)В символическом виде можно записать так: (2.14)Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин   (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между L и   причем оказывается, что L, вообще говоря, не совпадает по направлению с   (рис. 2.5) Рис. 2.5.Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике - тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной - три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор - это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат).