- •6. Работа, мощность, энергия
- •7. Кинетическая и потенциальная энергия
- •Формы записи закона сохранения энергии в классической физике
- •Расширенная форма записи закона сохранения энергии
- •9. Закон сохранения импульса.
- •11. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •12. Момент импульса
- •14. Момент инерции
- •14.1 Теорема Штейнера
- •15. Кинетическая энергия вращения
- •16. Момент импульса. Тензор инерции.
- •17. Свободные оси. Гироскоп
- •18. Деформация твердого тела
- •19. Неинерциальные системы отсчета и силы инерции
14. Момент инерции
Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу где интегрирование производится по всему объему тела. При этом величина r в есть функция положения точки с координатами х, у, z. В качестве примера будем искать момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 1).
Рис.1
Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции отдельного полого цилиндра dJ=r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr. Если ρ-плотность материала, то dm=2πrhρdr и dJ=2πhρr3dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра но так как πR2h - объем цилиндра, то его масса m=πR2hρ, а момент инерции Если мы знаем момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то мы можем найти и момент инерции относительно любой другой параллельной этой оси, который можно найти с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: Приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).
14.1 Теорема Штейнера
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Иллюстрация теоремы для момента площади.
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Штейнера (значения).
Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнераи голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела JC относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: где JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,m — масса тела,d — расстояние между указанными осями.
Момент инерции, по определению: Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов: ,где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:
Вынося за сумму , получим:
Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:
Тогда:
Откуда и следует искомая формула:
,
где JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.