15. Оценки случайных погрешностей

Наиболее хорошо разработаны и обеспечены таблицами статистические расчеты для нормального распределения. Именно это распределение чаще других встречается в реальных ситуациях. Тем не менее, при выполнении ответственных измерений необходима проверка нормальности распределения случайных погрешностей. При большом числе наблюдений (п>50), лучшие результаты дает проверка по критерию X². Когда число измерений мало, применяют проверку по совокупности критериев, учитывающих степень смещения и рассеяния точечных оценок.

Для нормального закона распределения формула плотности распределения вероятностей абсолютных погрешностей имеет вид:

, (3.1) где: и –среднеквадратическое отклонение и матем. ожидание случайной погрешности, – фиксированное значение случайной величины .

Если = 0, а величина нормирована значением , т.е. введено , то выражение (3.1) принимает вид: (3.2)

Выражение (3.2) позволяет определить интеграл вероятности:

. (3.3)

В теоретических расчетах часто пользуются функцией: . (3.4)

Интеграл вероятности (3.3) и функция (3.4) табулированы. Таблицы приведены в справочной литературе.

Выражение (3.3) и (3.4) связаны соотношениями: (3.5)

И (3.6)

Для решения многих практических задач вполне достаточно знать простейшие числовые характеристики: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение . Для нормального распределения вероятностей случайных погрешностей числа и являются исчерпывающими характеристиками. Теоретически и должны определяться при бесконечном числе опытов. Практически число опытов п всегда ограничено. Поэтому реально пользуются статистическими числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные и называют их оценками. Обозначать оценки будем звездочкой «_*».

Вместо математического ожидания пользуются средним арифметическим результатов отдельных измерений: (3.7)

Приближение к тем сильнее, чем больше п. Среднее арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерений и может стать оценкой истинного значения измеряемой величины только после исключения систематических погрешностей. Так как А_ср вычисляется на основании ограниченных опытных данных, то оно является случайной величиной. Его отклонение от истинного значения может характеризоваться среднеквадратическим отклонением σ_Аср.

Наиболее распространенной оценкой случайной погрешности является среднеквадратическое отклонение: . (3.8)

Эта оценка – несмещенная при известном . Так как неизвестна, то оценка (3.8) оказывается смещенной. Чтобы устранить смещение, изменяют вес, т.е.:

,

Разность обозначают ν_i и называют отклонение от среднего. Применяя это к предыдущему выражению получаем выражение: (3.9)

Доказано, что среднеквадратическое отклонение среднего арифметического результатов измерения (3.7) от истинного значения, определяется формулой: (3.10)

Отклонение от среднего ν_i может быть найдено для каждого измерения. При этом отпадает необходимость исключения аддитивной систематической погрешности в результатах измерений. Это видно из следующего. Обозначим систематическую погрешность символом С. Тогда результат i-го измерения определяется суммой , а среднеарифметическое .

Разность , т.е. не содержит систематической погрешности.

Методика практического определения среднеквадратического значения случайной погрешности зависит от постоянства точности измерений. При равноточных измерениях (выполняются одним операторам, в одинаковых условиях, одним прибором) методика сводится к следующему.

Проводят п измерений одного и того же значения величины. Результатами измерений являются п показаний прибора . По ним находят среднее арифметическое показаний по (4.7). Затем вычисляют отклонения от А_ср, т.е. :

Если вычисления выполнены правильно, то: .

Вычисляется оценка среднеквадратического значения абсолютной погрешности:

. (3.11)

Оценка среднеквадратического значения относительной погрешности определяется отношением:

.

При неравноточных измерениях (различные операторы, разные приборы и условия измерений), вместо среднего арифметического значения результатов измерений используют среднее взвешенное, т.е. используют веса ^{измерений, причем вес} .

Пусть – независимые результаты измерений величины А₀, а – среднеквадратические оценки погрешности соответствующих приборов, которыми выполнялись измерения. Тогда в качестве оценки параметра используют величину:

, (3.12) ^{где – вес i –го измерения.}

Средневзвешенная оценка (3.12) является несмещенной, эффективной и состоятельной.

Таким образом, в качестве оценок случайных величин используют статистические числовые характеристики: среднее арифметическое А_ср (А_ср в₃), а в качестве оценок погрешностей - среднеквадратическое отклонение абсолютной погрешности ; среднеквадратическое отклонение среднего арифметического - .