17. Понятие статистического показателя.

Статистическое исследование независимо от его масштабов и целей всегда завершается расчетом и анализом различных по виду и форме выражения статистических показателей.

Статистический показатель представляет собой количественную характеристику социально - экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности. Качественная определенность показателя заключается в том, что он непосредственно связан с внутренним содержанием изучаемого явления или процесса, его сущностью.

Как правило, изучаемые статистикой процессы и явления достаточно сложны, и их сущность не может быть отражена посредством одного отдельного взятого показателя. В таких случаях используется система статистических показателей.

Система статистических показателей – это совокупность взаимосвязанных показателей, имеющая одноуровневую или многоуровневую структуру и нацеленная на решение конкретной статистической задачи. Так, например, сущность промышленного предприятия заключается в производстве какой - либо продукции на базе эффективного взаимодействия средств производства и трудовых ресурсов. Следовательно, для полной экономической характеристики функционирования предприятия необходимо использовать систему, включающую прежде всего такие показатели, как прибыль, рентабельность, численность промышленно-производственного персонала, производительность труда, фондовооруженность и др.

В отличие от признака, статистический показатель получается расчетным путем. Это может быть простой подсчет единиц совокупности, суммирование их значений признака, сравнения двух или нескольких величин или более сложные расчеты. Различают конкретный статистический показатель и показатель-категорию.

Конкретный статистический показатель характеризует размер, величину изучаемого явления или процесса в данном месте и в данное время (под привязкой к месту понимается отношение показателя к какой-либо территории или объекту). Так, если мы называем конкретную величину стоимости промышленно-производственных фондов, то обязательно должны указать, к какому предприятию или отрасли и какому моменту времени она относится. Однако в теоретических работах и на этапе проектирования статистического наблюдения (при построении системы статистических показателей, обосновании методики их расчета) также оперируют и абстрактными показателями или показателями – категориями.

Показатель–категория отражает сущность, общие отличительный свойства конкретных статистических показателей одного и того же вида без указания места, времени и числового значения. Например, показатели розничного товарооборота предприятий торговли и общественного питания в Москве и Санкт-Петербурге в 2000 и 2002гг. отличаются местом, временем и конкретными числовыми значениями, но имеют одну и ту же сущность (продажа товаров через розничную торговую сеть и сеть предприятий общественного питания), которая отражена в показатели – категории “розничный товарооборот предприятий торговли и общественного питания”.

Все статистические показатели по охвату единиц совокупности разделяются на индивидуальные и сводные, а по форме выражения – на абсолютные, относительные и средние.

Индивидуальные показатели характеризуют отдельный объект или отдельную единицу совокупности – предприятие, фирму, банк, домохозяйство и т.п. Примером индивидуальных абсолютных показателей может служить численность промышленно-производственного персонала предприятия, оборот торговой фирмы, совокупный доход домохозяйства.

На основе соотнесения двух индивидуальных показателей, характеризующих один и тот же объект или единицу, получают индивидуальный относительный показатель. В статистике рассчитываются и индивидуальные средние показатели, но только во временном измерении (среднегодовая численность персонала предприятия).

Сводные показатели, в отличие от индивидуальных, характеризуют группу единиц, представляющую собой часть статистической совокупности или всю совокупность в целом. Эти показатели, в свою очередь, подразделяются на объемные и расчетные.

18-23. Абсолютные показатели.

Абсолютные величины, выражающие размеры (уровни, объемы) явлений и процессов, получают в результате статистического наблюдения и сводки исходной информации.

По способу выражения размеров изучаемых явлений абсолютные величины подразделяются на индивидуальные и суммарные, которые представляют собой один из видов обобщающих величин. Первые из них характеризуют размеры количественных признаков у отдельных единиц, например выработку одного продавца за конкретный период, количество жилой площади на 1 человека в вашей семье и т. д. Этот вид показателей служит основанием при статистической сводке для включения единиц объекта в группы. На их базе получают абсолютные величины, из которых, в свою очередь, можно выделить показатели численности совокупности и показатели объема признаков совокупности. При изучении состояния и развития торговли района, области и т. д. Число предприятий можно отнести к первому виду из названных величин, а число работников, объем товарооборота — ко второму.

Абсолютные величины характеризуют простые совокупности (численность магазинов, работников) и сложные (объем товарооборота, размер основных фондов). Поэтому количественному их выражению в абсолютных величинах предшествует тщательный теоретический анализ данной экономической категории.

Абсолютные величины всегда числа именованные, имеющие определенную размерность, единицы измерения. В зависимости от различных причин и целей анализа применяются натуральные, денежные (стоимостные) и трудовые единицы измерения. Натуральные единицы измерения в большинстве своем соответствуют природным или потребительским свойствам предмета, товара и выражаются в физических мерах веса, мерах длины и т. д. Так, продажа мяса измеряется в килограммах, песок в тоннах, численность персонала в людях, обуви - в парах.

Иногда одна натуральная единица измерения недостаточна для характеристики изучаемого явления. В подобных случаях используют вторую единицу в сочетании с первой. Поэтому в практике натуральные единицы измерения могут быть составными. Так, трудовые затраты в торговле измеряются числом работников и количеством человеко-часов (чел.-ч), человеко-дней (чел.-дн.), работа транспорта выражается в тонно-километрах (т/км).

Относительные статистические величины выражают количественные соотношения между явлениями общественной жизни, они получаются в результате деления одной абсолютной величины на другую.

Знаменатель (основание сравнения, база) – это величина, с которой производится сравнение.

Сравниваемая (отчетная, текущая) величина – это величина, которая сравнивается.

Относительная величина абстрагирует различия абсолютных величин и позволяет сравнивать такие явления, абсолютные размеры которых непосредственно несопоставимы.

Форма выражения относительных величин зависит от количественного соотношения сравниваемых величин, а также от смыслового содержания полученного результата сравнения. В тех случаях, когда сравниваемый показатель больше основания, относительная величина может быть выражена или коэффициентом, или в процентах.

Расчет относительных величин в виде коэффициента применяется в том случае, если сравниваемая величина существенно больше той, с которой она сравнивается. В этом случае значение основания или базы сравнения принимается за единицу (приравнивается к единице), а относительная величина (результат сравнения) является коэффициентом и показывает, во сколько раз изучаемая величина больше основания.

Когда сравниваемый показатель меньше основания, относительную величину лучше выразить в процентах. Если значение основания или базу сравнения принять за 100%, результат вычисления относительной величины будет выражаться в процентах. Если же сравнительно малые по числовому значению величины сопоставляются с большими, относительные величины выражаются в промилле(1/1000), децимилле (1/10000) или продецимилле( 1/100000), например в демографической статистике при расчете коэффициентов рождаемости, смертности, естественного и механического прироста населения.

По своему познавательному значению относительные величины подразделяются на следующие виды: выполнения договорных обязательств (выполнения плана), планового задания, структуры, динамики, сравнения, координации, интенсивности.

Относительная величина выполнения договорных обязательств (выполнения плана) — показатель, характеризующий уровень выполнения предприятием своих обязательств, предусмотренных в договорах или плановым заданием. Расчет этих показателей производится путем соотношения объема фактически выполненных обязательств (например, объема фактической поставки товара) и объема обязательств, предусмотренных в договоре (объем, поставки товаров по договору). Выражаются относительные величины выполнения договорных обязательств в форме коэффициентов или в процентах. Например, по договору поставки ОАО «Светлана» должно отгрузить ЗАО «Паритет» 15 мешков крупы. Но в виду порчи товара грызунами было поставлено только 14 мешков. Фактические объемы поставок делятся на плановые 14/15 = 0,933. Умножив результат на 100%, получим 93,3% - это процент выполнения договорных обязательств. Сравнивая с нормой (100% или 15 мешков) можно сказать, что обязательства не выполнены на (100 - 93,3) 6,7%.

Относительная величина планового задания показывает во сколько раз или на сколько процентов плановое задание отчетного периода больше или меньше уровня базисного периода. Для этого плановые данные отчетного периода делятся на фактические данные базисного периода. Например, в мае завод выпустил 1000 деталей. На июнь планируется увеличить выпуск на 200 шт. (т.е. выпустить 1200 деталей). Значит, плановое задание июня составит 120 % ((1200/1000)*100%) относительно предыдущего месяца (мая). Другими словами в июне необходимо выпустить на 20% больше деталей, чем выпущено в мае

Относительные величины структуры характеризуют доли отдельных частей в общем объеме совокупности и называются удельными весами. Они получаются путем деления значения каждой части совокупности на общей объем признаков во всей совокупности. Применяются при изучении сложных явлений, распадающихся на ряд групп или частей, для характеристики удельного веса (доли) каждой группы в общем итоге. У этой величины есть одна особенность: сумма удельных весов или долей всех частей совокупности всегда равна 100% или 1 (в зависимости от того, в процентах или коэффициентах измерялись относительные величины).

Относительные величины структуры широко используются в анализе различных социально-экономических явлений. Например, для изучения состава товарооборота или выпуска по ассортименту на предприятиях, состава работников предприятия по различным признакам (полу, возрасту, стажу работы), состава издержек обращения и т. д.

Сравнивая структуру одной и той же совокупности за разные периоды времени, можно проследить структурные изменения, происшедшие во времени.

Пример. Из общей численности населения России, равной в 2002г. 145,164 млн. человек, 106,427 млн. составляли городские жители, 38,737 млн. - сельские. Рассчитав относительные величины структуры, можно определить удельные веса (или доли городских и сельских жителей) в общей численности населения страны, т. е. структуру населения по месту жительства:

- городское — %

- сельское — %

Относительные величины динамики характеризуют изменение изучаемого явления во времени, выявляют направление развития, измеряют интенсивность развития. Расчет относительных величин выполняется в виде темпов роста или коэффициентов роста, базисных или цепных. Базисные величины динамики получаются при сравнении уровней с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения. Цепные величины динамики получаются при последовательном сравнении уровней с уровнями предыдущих периодов.

Пример. Реализация тканей в универмаге составила в январе 3956 тыс. руб., в феврале - 4200 тыс. руб., в марте - 4700 тыс. руб. Рассчитаем базисные и цепные темпы роста и коэффициенты роста:

Базисные (база сранения - уровень реализации в январе) ;

Цепные (база сравнения – предыдущий период):

;

.

Относительные величины сравнения характеризуют количественное соотношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам статистического наблюдения или территориям, взятым за один и тот же период или на один момент времени. Исчисляются в коэффициентах или процентах и показывают во сколько раз одна сравнимая величина больше или меньше другой.

Пример. По данным Всесоюзной переписи населения 2002 г. численность людей с высшим профессиональным образованием составляла 160 чел (на каждую 1000 жителей РФ), а со средним общим образованием - 258 чел (на 1000 жителей). Рассчитаем относительную величину сравнения, приняв за базу сравнения численность людей с высшим образованием: 258 / 160 = 1,61 (умножив на 100%, получим 161%). Значит, численность людей со средним образованием превышает численность людей с высшим образованием на 61% (161 –100=61). Если примем за базу сравнения людей со средним образованием, то получим: 160 /258 = 0,62 (умножив на 100%, получим 62%). Значит численность людей с высшим образованием меньше численности людей со средним образованием на 38% (62 -100 = -38).

Относительные величины координации представляют собой один из разновидностей показателей сравнения. Они применяются для характеристики соотношения между отдельными частями статистической совокупности и показывают, во сколько раз сравниваемая часть совокупности больше или меньше части, которая принимается за основание или базу сравнения, т. е., по существу, характеризуют структуру изучаемой совокупности, причем куда более выразительно, чем относительные величины структуры. В качестве базы сравнения принимается та часть совокупности, которая вносит наибольший вклад в явление. Выражаются в процентах, промилле или кратных отношениях.

Пример. На начало года численность рабочих в оптовой базе составила 107 человек, а численность менеджеров этой базы 53 человека. Приняв за базу сравнения численность менеджеров, рассчитаем относительную величину координации: 107 / 53 = 2,01. Отбросим дробную часть в результате, так как показатели измеряются в дискретных единицах – человек, и получим, что на одного менеджера приходится двое рабочих, т.е. соотношение между этими группами персонала - 1\2.

Относительные величины интенсивности показывают, насколько широко распространено изучаемое явление в той или иной сфере. Они характеризуют соотношение разноименных, но связанных между собой абсолютных величин. В отличие от других видов относительных величин относительные величины интенсивности всегда выражаются именованными величинами. Рассчитываются относительные величины интенсивности делением абсолютной величины изучаемого явления на абсолютную величину, характеризующую объем среды, в которой происходит развитие или распространение явления.

Относительная величина показывает, сколько единиц одной совокупности приходится на единицу другой совокупности. С их помощью характеризуется уровень экономического и социального развития стран, уровень развития отраслей экономики, предприятий и т.д. К ним относятся демографические коэффициенты, коэффициенты рождаемости, смертности и естественного прироста населения.

Пример. Число предприятий розничной торговли региона на конец года составило 6324. Численность населения данного региона на ту же дату составила 234,2 тыс. человек. Следовательно, на каждые 10000 человек в данном регионе приходится 27,3 предприятия розничной торговли: .

Относительная величина уровня экономического развития является разновидностью относительной величины интенсивности и показывает, насколько эффективно распределяются различные ресурсы в изучаемой среде. Уровень экономического развития характеризуют такие показатели, как размер ВВП, ВНП на душу населения в стране или за рубежом. Производство различных видов продукции на душу населения, густота автомобильных и железнодорожных дорог в расчете на 1000 км.

24-28. Сущность и значение средних показателей.

Под средней величиной понимается обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени. Предположим, студенты группы имеют различный уровень знаний по дисциплине «Статистика». После проведения экзамена и оценки всех студентов можно рассчитать средний балл по группе. Для этого складываются все набранные баллы за экзамен, и полученная сумма делится на количество всех студентов. В этом примере обобщению подвергается признак – успеваемость студентов по дисциплине «Статистика».

Признак, по которому рассчитывается средняя величина, называется осредняемым. Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется ее индивидуальным значением. По всей совокупности (группе студентов) осредняемый признак является варьирующим – то есть у всех студентов знания по статистике различны – варьируются от неудовлетворительных до отличных.

Средние величины дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Найденная средняя отражает объективный уровень знаний студентов, достигнутый в процессе развития явления (накопления знаний по статистике) к определенному моменту (конец семестра, зачетная неделя, дата проведения экзамена).

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. Она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака, и выявляет основную тенденцию развития. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный Закон больших чисел.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Средние показатели иногда приводят к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Правильное исчисление средних величин предполагает выполнение следующих требований:

1. Качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений.

2. Исключение влияния на исчисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов.

При вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована.

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п. Связь между определяющим показателем и средней выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить их средним значением, то сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя.

Средние величины делятся на два класса: степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая); структурные средние (мода, медиана). Для наглядности, наиболее часто применяемые в практических исследованиях, формулы вычисления различных видов степенных средних величин представим в таблице 3.

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
1) Гармоническая	-1		, где
2) Геометрическая	0
3) Арифметическая	1
4) Квадратическая	2
5) Кубическая	3

Средняя арифметическая (простая) применяется в тех случаях, когда общий объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признаков у отдельных ее единиц. Ее вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности:

,

где - средняя величина,

- отдельные значения (варианты) признака (i = 1, 2,.. n),

- численность совокупности.

Пример. Найдем средний стаж работы сотрудников фирмы (лет):

5 2 3 10 7 9 4 2 4 2 3 5 9 3 5.

Средняя величина стажа 15 сотрудников с помощью средней арифметической вычисляется следующим образом: . Следовательно, средний стаж работников фирмы составляет около 5 лет (4,86).

Средняя арифметическая (взвешенная) используется в тех случаях, когда известны отдельные значения признака и их веса ( ):

,

где - варианты осредняемого признака, - частота, которая показывает, сколько раз встречается i-ое значение в совокупности.

Вычислим средний стаж работы по фирме:

.

Средняя арифметическая рассчитывается различными способами в дискретных и интервальных вариационных рядах. Дискретный вариационный ряд - это ряд значений признака, выраженных целыми числами:

В дискретных рядах варианты признака умножаются на частоты, эти произведения суммируются, и полученная сумма произведений делится на сумму частот:

Таким образом, среднее число детей в семье - 2 ребенка.

В интервальных рядах значение признака задано в виде интервалов, поэтому, прежде чем рассчитывать среднюю арифметическую, нужно перейти от интервального ряда к дискретному. Для этого в каждой группе находится среднее значение интервала как полусуммы его верхней и нижней границ. Эти средние значения интервалов и будут новыми значениями вариантов, подлежащих усреднению.

Середину интервала по возрасту найдем, складывая нижнюю и верхнюю границы интервала и разделив результат пополам:

1) (17 + 25) /2 =21

2) (25 + 35) /2 =30 и т.д.

Последний интервал открытый. Чтобы найти верхнюю границу этого интервала, предположим, что его ширина такая же, как в предыдущем интервале, т.е. 15 лет. Следовательно, верхняя граница последнего интервала – 65 лет. Таким образом, средний возраст сотрудников по фирме составляет:

года.

Если веса ( ) заданы не в абсолютных показателях, а в относительных, то формула расчета средней арифметической будет следующей:

,

где - относительные величины структуры, показывающие, какой процент составляют частоты вариантов в сумме всех частот. Если относительные величины структуры заданы не в процентах, а в долях, то средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

.

Разновидностью средней арифметической является средняя прогрессивная. Данный вид средней величины рассчитывается не для всех значений осредняемого признака, а только для тех, которые обладают «лучшими» или наибольшими значениями, т.е. выше среднего уровня.

Пример. Предположим, что у 20 случайно отобранных сотрудников зафиксировали следующий ежемесячный доход в тыс. руб.:

10 5 4 1 2 3 8 2 6 7 4 5 7 2 3 4 5 1 9 15.

Для нахождения средней прогрессивной необходимо найти среднюю простую:

.

Теперь из первоначальной совокупности удалим варианты, значения которых ниже найденного среднего уровня: 10 5 4 1 2 3 8 2 6 7 4 5 7 2 3 4 5 1 9 15.

Выпишем оставшиеся результаты: 10 8 6 7 7 9 15.

Найдем среднюю прогрессивную на основе оставшихся значений:

.

Следовательно, средний уровень зарплаты среди людей, получающих высокий заработок (выше среднего) составляет 8,85 тыс. руб.

Средняя хронологическая применяется для моментного ряда с равными интервалами между датами (например, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года):

.

Средняя гармоническая (простая и взвешенная) применяется, когда характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной:

.

Средняя гармоническая (простая) применяется когда веса всех вариантов (f_i) равны:

,

где х_i - отдельные варианты, n - число вариантов осредняемого признака.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения.

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций.

Структурные средние характеризуют состав статистической совокупности по одному из варьирующих признаков. К этим средним относятся мода и медиана.

Мода - это значение варьирующего признака, которое в данном ряду распределения имеет наибольшую частоту. В дискретных рядах распределений мода определяется визуально. Сначала определяется наибольшая частота, а по ней модальное значение признака. В интервальных рядах для вычисления моды используется следующая формула:

- нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой),

- величина модального интервала (шаг),

- частота модального интервала,

- частота интервала предшествующего модальному,

- частота интервала следующего за модальным.

29-32. Понятие вариации.

Термин "вариация" произошел от латинского variatio – “изменение, колеблемость, различие”. Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц совокупности. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Вариация возникает в силу того, что отдельные значения признака формируются по влияние большого числа взаимосвязанных факторов. Эти факторы часто действуют в противоположных направлениях, и их совместное действие формирует значение признаков у конкретной единицы совокупности. Необходимость изучения вариаций связана с тем, что средняя величина, обобщающая данные статистического наблюдения, не показывает, как колеблется вокруг нее индивидуальное значение признака. Вариации присущи явлениям природы и общества. При этом изменения в общественных явлениях происходят быстрее, чем аналогичные изменения в природе. Объективно существуют также вариации в пространстве и во времени.

Вариация в пространстве показывает различие статистических показателей относящихся к различным административно-территориальным единицам.

Вариация во времени показывает различие показателей в зависимости от периода или момента времени, к которым они относятся.

Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости значений отдельных единиц к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета. Для характеристики совокупностей и вычисленных величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средней величиной.

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей. Наиболее простой из них - размах вариации.

Размах вариации - это разность между наибольшим ( ) и наименьшим ( ) значениями вариантов.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределения отклонений, вычисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

.

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

1) по значениям признака вычисляется средняя арифметическая:

;

2) определяются отклонения каждой варианты от средней ;

3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ;

4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:

.

Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий:

1) вычисляется средняя арифметическая взвешенная:

;

2) определяются абсолютные отклонения вариант от средней ;

3) полученные отклонения умножаются на частоты ;

4) находится сумма взвешенных отклонений без учета знака:

;

5) сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

.

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения.

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

— дисперсия невзвешенная (простая);

— дисперсия взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:

— среднее квадратическое отклонение невзвешенное;

— среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Порядок расчета дисперсии взвешенной:

1) определяют среднюю арифметическую взвешенную

;

2) определяются отклонения вариант от средней ;

3) возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней ;

4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты) ;

5) суммируют полученные произведения

;

6) Полученную сумму делят на сумму весов

.

Дисперсия по индивидуальным данным и в рядах распределения может быть рассчитана по следующей формуле: .

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.

Свойства дисперсии:

0. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

1. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз, соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в раз.

3. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.

Порядок расчета дисперсии простой:

1) определяют среднюю арифметическую ;

2) возводят в квадрат среднюю арифметическую ;

3) возводят в квадрат каждую варианту ряда ;

4) находим сумму квадратов вариант ;

5) делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат ;

6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней .

Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения.

Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле ):

1) определяют среднюю арифметическую ;

2) возводят в квадрат полученную среднюю ;

3) возводят в квадрат каждую варианту ряда ;

4) умножают квадраты вариант на частоты ;

5) суммируют полученные произведения ;

6) делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака ;

7) определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию .

Средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. действие главных причин. Среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Показатели относительного рассеивания.

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений в средней величине:

.

3. Коэффициент вариации.

.

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

49-56. Понятие экономических индексов.

Понятие индекса и его значение в анализе экономических явлений. Индексы - относительные показатели, предназначенные для описания изменения какой-либо величины во времени или в пространстве.

Индекс - сводный, обобщенный итоговый показатель изменения изучаемого явления.

Пояснение: Индексный анализ широко применяется в анализе экономических явлений, а также в управленческой практике. Особое место здесь занимают индексы цен, которые нужны при разработке бизнес-планов новых производств, без них невозможно обойтись при пересчете основных показателей деятельности предприятия из фактически действующих цен в сопоставимые. Индексы цен позволяют соизмерять динамику цен во времени и их разброс в пространстве.

Например, индекс потребительских цен занимает важное место в статистике цен. Он отражает реальную покупательную способность денег, которыми располагают различные слои населения для удовлетворения своих материальных, культурных и духовных потребностей. Методология исчисления этого индекса предполагает расчет отдельно для различных регионов, товарных групп и услуг, отдельных групп населения с различными уровнями доходов.

Пересчет важнейших показателей из фактических цен в сопоставимые, исключающие влияние инфляции, осуществляется с помощью индексов дефляторов.

В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции) и индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости)

Существующие взаимосвязи между важнейшими индексами позволяют выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления, например связь между индексом стоимости продукции, физического объема продукции и цен. Другие индексы также связаны между собой. Так, индекс издержек производства - это произведение индекса себестоимости продукции и индекса физического объема продукции.

Индекс затрат времени на производство продукции может быть получен в результате умножения индекса физического объема продукции и величины, обратной величине индекса трудоемкости, т.е. индекс производительности труда.

Существует важная взаимосвязь между индексами физического объема продукции и индексами производительности труда.

Индекс производительности труда представляет собой отношение средней выработки продукции (в сопоставимых ценах) в единицу времени (или на одного занятого) в текущем и базисном периодах. Например, индекс физического объема продукции равен произведению индекса производительности труда на индекс затрат рабочего времени (или численности занятых).

Взаимосвязь между отдельными индексами может быть использована для выявления отдельных факторов, оказывающих воздействие на изучаемое явление.

Индекс производительности труда по производственным затратам показывает, во сколько раз увеличилась (уменьшилась) производительность труда, или сколько процентов составило снижение (рост) производительности труда в текущем периоде по сравнению с базисным.

Значение индекса, уменьшенное на 100% показывает, на сколько процентов изменилась производительность труда в текущем периоде по сравнению с базисным.

Разность числителя и знаменателя показывает абсолютный размер экономии (перерасхода) затрат живого труда в связи с ростом (уменьшением) его производительности.

В статистической практике часто возникает потребность в сопоставлении уровней экономического явления в пространстве: по странам, экономическим районам, областям, т.е. в исчислении территориальных индексов. При построении территориальных индексов приходится решать вопрос, какие веса использовать при их исчислении.

Индивидуальные и общие индексы. По форме индексы подразделяются на индивидуальные, агрегатные (общие) и средние. Индивидуальные индексы дают меру изменения величины. Средние и агрегатные индексы дают картину изменения по составляющим индексируемой величины.

Расчеты индивидуальных индексов просты по своей сущности и выполняются путем вычисления соотношения двух индексируемых величин. Формула индивидуального индекса цен: ;

Формула индивидуального индекса физического объема: .

Индивидуальные индексы могут исчисляться в виде индексного ряда за несколько периодов.

Агрегатный (от латинского aggrego — присоединяю) или общий индекс - составленный из отдельных частей. Обозначается буквой «I».

Агрегатные индексы - относительные показатели, характеризующие среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.

Основной формой общих и групповых индексов физического объема производства (товарооборота), цен, себестоимости и производительности труда (по трудовым затратам) является взвешенный агрегатный индекс. Он представляет собой соотношение сумм произведений индексируемых величин и их весов.

Методика построения агрегатного индекса предусматривает решение трех вопросов:

1. Какая величина будет индексируемой;

2. По какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;

3. Что будет служить весом при расчете индекса.

При выборе веса индекса принято руководствоваться следующим правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период, при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода.

В развитии индексной теории сложились два направления: обобщающее, или синтетическое, и аналитическое.

Различие между этими направлениями обусловлено двумя возможностями интерпретации индексов в их приложении.

Обобщающее или так называемое синтетическое направление трактует индекс как показатель среднего изменения уровня изучаемого явления. В аналитической теории индексы воспринимаются как показатели изменения уровня результативной величины под влиянием изменения индексируемой величины. Так же к синтетическим свойствам общих (агрегатных) индексов следует отнести способность соединять в целое части несопоставимых в реальной жизни величин. Так в общих индексах возможно производить суммирование величин, в реальной жизни не слагаемых: - килограммы + литры + буханки + штуки +…и т.д.

Развитие второго направления было обусловлено применением индексного метода в экономическом анализе.

Способы построения индексов зависят от содержания изучаемых явлений, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования.

Основными методиками расчета общих (агрегатных) индексов являются методы, названные по фамилиям их создателей:

1) Метод Ласпейреса:

-общий индекс цен;

-общий индекс физического объема.

Как видим в данном методе большинство используемых данных относятся к базисному периоду ( , ). В связи с этим метод Ласпейреса чаще всего используют для прогнозов будущих явлений.

2) Метод Пааше:

общий индекс цен;

-общий индекс физического объема.

В формулах Пааше большинство элементов имеют индекс с подстрочным символом «1», т.е. относятся к настоящему, отчетному периоду. Данный метод чаще всего используют для сравнения одного периода с другим.

Однако, на практике нет жесткого закрепления какой индекс применять для каких целей. Лучше всего при расчетах (при возможности выбора общего индекса) использовать наиболее понятный индекс.

По одним и тем же данным одни и те же индексы, рассчитанные методом Ласпейреса и Пааше, дают несколько отличные результаты.

Средние взвешенные (гармонические) индексы. В тех случаях, когда известен товарооборот по каждому товару, но неизвестно отдельно значение цены или количество товаров применить обычную форму общего индекса невозможно. Например, за день выручка парикмахера составляет 3 тыс. руб., а выручка маникюрши 4 тыс. руб. Таким образом, товарооборот (произведение цены на количество) составил 3 и 4 т. руб. соответственно

Средний взвешенный индекс Ласпейреса (данные базисного периода):

- средний арифметический индекс цен;

- средний арифметический индекс физического объема.

Средний взвешенный индекс Пааше (данные отчетного периода):

- средний гармонический индекс цен;

- средний гармонический индекс физического объема.

Цепные и базисные индексы. Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Зная, например, значение цепных индексов за какой-либо период времени, можно рассчитать базисные индексы. И наоборот, если известны базисные, то путем деления одного из них на другой можно получить цепные индексы.

Индивидуальные и общие индексы могут рассчитываться цепным (сравниваем с предыдущим периодом) и базисным (сравниваем с первоначальным) периодом.

При построении индексов всегда возникает множество дискуссионных вопросов. Оценку «правильности» системы индексов сформулировал американский статистик И.Фишер. Он определил основные правила, которым должна удовлетворять система индексов:

1. обратимость во времени: 1ху = 1/1ху , где х, у - периоды сравнения. Это означает, что если индекс показывает снижение в отчетном периоде в n раз, то в базисном периоде он должен показать увеличение в п раз;

2. обратимость по факторам: если поменять местами в индексе цен символы цен и количеств, то должны получить индекс количеств. При этом если умножить его на индекс цен, то получим индекс изменения общей стоимости.

Различают индексы постоянного и переменного состава. Необходимость применения индексов постоянного и переменного состава возникает в том случае, когда динамика средних показателей отражает не только изменение усредняемого признака, но и изменение состава данной совокупности.