Транспонирование матриц

Определение. Матрицу А^Т называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы А^Т.(т.е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

А = ; А^Т= ;

Пример: Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ; A^TB =  = = ;

C = ; А^ТВ+С = + = .

Пример: Даны матрицы А = и В = . Найти произведение матриц АВ и ВА.

АВ =  = .

ВА =  = (21 + 44 + 13) = (2 + 16 + 3) = (21).

Пример: Найти произведение матриц А= , В =

АВ =  = = .

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование

Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если

.

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Рассмотрим на примере, как найти обратную матрицу .

Пусть

1)Найти определитель матрицы

.

Так как , то обратная матрица существует.

2) Сформировать матрицу из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы.

если - четное число,

если - нечетное число.

3) Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений.

.

4) Обратная матрица определяется формулой

,

.

2)Умножение матриц

Умножить матрицу А на матрицу В можно только в том случае, когда количество столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Поэтому, для ввода размерности матриц необходимо указать только число строк и столбцов матрицы А и число столбцов матрицы В, а количество строк программа подставит автоматически. Произведением будет матрица С, элементы которой равны с_ij=∑a_ik·b_ki, где a_ik,b_ki- элементы матриц А и В соответственно.

Что бы более наглядно увидеть, как производит вычисления наша программа, приведем пример: 

-5 8 9 10 -14 5

·

2.5 6 11 12 13 12 -10 1

=

91.5 66 -135 -52 152.5 174 -1 118 30 -24 -204 -163

 

Запишем, как нашли каждый элемент новой матрицы

 

C₁₁=a₁₁·b₁₁+a₁₂·b₂₁=-5·2.5+8·13=92 C₁₂=a₁₁·b₁₂+a₁₂·b₂₂=-5·6+8·12=66 C₁₃=a₁₁·b₁₃+a₁₂·b₂₃=-5·11+8·(-10)=-135 C₁₄=a₁₁·b₁₄+a₁₂·b₂₄=-5·12+8·1=-52 C₂₁=a₂₁·b₁₁+a₂₂·b₂₁=9·2.5+10·13=153 C₂₂=a₂₁·b₁₂+a₂₂·b₂₂=9·6+10·12=174 C₂₃=a₂₁·b₁₃+a₂₂·b₂₃=9·11+10·(-10)=-1 C₂₄=a₂₁·b₁₄+a₂₂·b₂₄=9·12+10·1=118 C₃₁=a₃₁·b₁₁+a₃₂·b₂₁=-14·2.5+5·13=30 C₃₂=a₃₁·b₁₂+a₃₂·b₂₂=-14·6+5·12=-24 C₃₃=a₃₁·b₁₃+a₃₂·b₂₃=-14·11+5·(-10)=-204 C₃₄=a₃₁·b₁₄+a₃₂·b₂₄=-14·12+5·1=-163

3) Определители второго порядка и их свойства

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

2. Если в определителе какие-либо  две строки (столбца) равны между собой, то такой определитель равен 0.

3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

4. Если поменять в определителе местами какие-либо две строки (столбца), то определитель меняет знак.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, то такой определитель равен 0.

6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменяется.

4)Миноры

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а_ij ,определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij. Обозначается М_ij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

, тогда согласно определению минора, минором М₁₂, соответствующим элементу а₁₂, будетопределитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1)ⁿ, где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij. А_ij = (-1)^i+j × М_ij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

5.Определители 3 порядка методы вычисления

 Определение через разложение по первой строке

Метод треугольников

6) Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁,b₂,...,b_n и x₁,x₂,...,x_n, либо набор c₁,c₂,...,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде

формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители: