- •2. Экстремум ф-ции неск.Переменных. Необх.И дост.Условия экстремума ф-ции 2 перем.
- •9. Свойства определённых интегралов
- •5. Замена переменной. Интегрирование по частям
- •7.Интегрирование рацион. Выражений и простейших дробей.
- •10. Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •11. Замена переменной и интегрирование по частям в опр.Интеграле
- •12.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения
- •14.Несобственные интегралы от неограниченных ф-ций
- •15. Диф. Уравн-ния (основные понятия)
- •17. Линейные ду 1-го порядка
- •18. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэф.
- •19. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия
- •21. Интегральный признак сходимости ряда с положительными членами
- •22. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.
- •23. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •25. Понятие степенного ряда, область сходимости степенного ряда, теорема Абеля
- •26. Ряды Тейлора и Маклорена
17. Линейные ду 1-го порядка
Уравнение вида ,
где p(x) и q(x) – заданные функции, назыв. линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Если в ур-нии 1 правая часть тождественно равна 0, то получим ур-ние вида (2) (однородное линейное ДУ 1-го порядка)
2—решают как ур-ние с раздел. переменными
1—решают с помощью подстановки:
,
(u’v+uv’)+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
Подставляем во 2-ое уравнение системы (b):
Общее решение уравнения :
18. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэф.
Вид:
Методика решения:
Уравнение
Общее решение зависит от корней характеристического.
a) D<0, , тогда решение имеет вид:
b)D=0, =>
c) D<0, =>
ДУ вида y”+py’+qy=r(x) (*) назыв. Линейным ДУ второго порядка.Если p q –постоянные,то(*) назыв. уравнением с пост.коэфф. Общее решение состоит из у=уобщ +у*,где уобщ- общее решение однородной част иДУ (y”+py’+qy=0),у*-частное решение неоднородного ДУ( y”+py’+qy=r(x)) Вид частного реш. опр-ся по виду правой части.1. r(x)=Pn(x),где Pn(x) многочлен n-ой степ. от х. 1)у*=Qn(x), q 0.2)y*=xQn(x),q=0,p 0. 3)y*=x2Qn(x) p=0,q=0
2. r(x)=aekx a,k R : 1)y*=Aekx,если к не явл.корнем характер-го ур-ия 2)у*=Axekx,если к простой корень хар.ур-ния. 3)y*=Ax2ekx если k кратный корень хар.ур-ния. 3. r(x)=a*cosmx+b*sinmx 1)y*= Acosmx+Bsinmx, p2+(q-m2)2≠0. 2)y*=x(Acosmx+Bsinmx) если p2+ (q-m2)2=0, p=0 q=m2
19. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия
О1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел а1, а2, …аn…(1), тогда выражение вида а1+а2+…+аn+…=∑аn (2) называется числовым рядом. аn –n-ый общий член ряда 2
О2.Для корректного опр-ния суммы бескон. Ряда восп-ся операцией предельного перехода. Частичная n-ая сумма ряда(1)назыв. Sn его n первых членов Sn=u1+u2+u3+…+un (3). Образуем послед-ть из S1,S2….,Sn—последовательность частичных сумм. Если сущ. Конечн.предел S= Sn(3) то ряд (2)-СХОД. Если лимит не сущ или бескон. то ряд-РАСХ
Ряд вида - геом.прогрессия,ряд сход.если и его сумма S=b/1-q,если ряд расх. Ряд гармонический и он всегда расход
20. Свойства сходящихся рядов.Необходимый признак сход.ряда.
Свойства-1. Если ряд u1+u2+u3+….un+…= (1) сход(расх.). И его сумма-S то сход(расх если с не равно 0) ,также и ряд и его сумма c*S.
2.Если ряд (1) и ряд их суммы S1 и S2 соответственно ,то сход и ряды и их суммы равны S1+S2.
3.Если к ряду (1) прибавить или отнять от него конечное число членов, то получим ряд и ряд (1) сход или расх одновременно. Ряд un+1+un+2+…= обознач. Rn-остаток ряда (1),если ряд (1) сход. то его остаток стрем. к 0 при n стрем. к бесконечн.( Rn=0).
Необход.признак сходимости- если ряд(1) сход. то общий член этого ряда стрем к 0 ( an=0) Док-во: un= (Sn-Sn-1)=0. Данный признак –не явл-ся достаточным(например гарм. ряд расх но un= 1/n стрем. к 0)
21. Интегральный признак сходимости ряда с положительными членами
Пусть задан ряд , члены кот положит и не возр-т, т.е. , а ф-я f(x) непрер, невозраст на [1;∞)
f(1)=a1, f(2)=a2…f(n)=an
Тогда если сх-ся, то и числовой ряд сходится и наоборот.