9. Свойства определённых интегралов

1.

2.-

3.

4. .

5.

6. , если f(x)<=f(x)

7.

5. Замена переменной. Интегрирование по частям

∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)

Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.

Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.

Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x

∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)

1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C

3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C

Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x),

∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m(x)dx, ∫arcsin^mxdx, ∫arccos^m xdx,∫arctg^m xdx

2 ∫Pn(x)ln(ax+b)dx,∫Pn(x)e^axdx,∫ Pn(x)sinaxdx,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k

7.Интегрирование рацион. Выражений и простейших дробей.

_{Опр1. Многочленом в степени n наз. выражение вида Pn(x)=a0+a1x1+…+an-1x}^n-1_{+anxn, где a0,a1,an- действит. числа, n>=0, n N0.}

_{Опр. 2. Рацион. дробью наз отношение 2-ух многочленов , при m=0, проблема интегрирования труда не составляет. Проблема вознивает, если m>0.В дальнейшем будет рассм. только правильные рацион. дроби (когда n<m), а при (n>=m) выполняется деление многочлена.}

_{Интегр. прост. Дробей}

_{1. = =}

_{3. = = применяем табл. интегралы и возвращаемся к исходной переменной.}

_4.

_{= где, 1. Вычисл. иетодом подстановки ,2.см.3}

10. Формула Ньютона-Лейбница (вывод)

Ф-ция , где х [a;b] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если f(x) непрерывна на [a;b], то производная ф-ции существует в кафдой точке х [a;b] причём Ф`(x) =f(x)

Т: Если непрерывна на , справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница:

ВЫВОД ФОРМУЛЫ:

Рассм-м , т.к. , то - первообразная для . Но , также первообразная. Это значит что имеет место следующее равенство :

Подставим верхнюю границу:

11. Замена переменной и интегрирование по частям в опр.Интеграле

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

→

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла: