2.5. Кинематика механизмов планетарного типа

В отличие от рассмотренных схем существуют механизмы, у которых оси отдельных колес подвижны. Такие механизмы относятся к механизмам планетарноо типа или эпициклическим. Эти механизмы по передаточному отношению выгодно отличаются от предыдущих, так как они могут обеспечить большое передаточное отношение при малом количестве колес (до 10 тысяч и более при четырех колесах).

Т и п о в а я с х е м а э п и ц и к- л и ч е с к о г о м е х а н и з м а представлена на рис. 2.7. Она включает центральное колесо 1 с внешними зубьями, называемое также солнечным колесом, центральное колесо 3 с внутренними зубьями и колесо 2, называемое сателлитом. Сателлит получил своё название из-за двух вращательных движений, в которых он участвует: вращения вокруг собственной оси и вращения вокруг общей оси механизма. Такую возможность ему предоставляет звено H стержневого типа, называемое водилом.

Если оба центральные колеса вращаются, то в механизме W = 2, и он называется дифференциальным.

Если одно из центральных колёс заторможено, то W = 1, и механизм называется планетарным.

Наиболее часто встречающиеся схемы механизмов планетарного типа в блочном представлении изображены на рис. 2.8. Схема А соответствует обыкновенному планетарному механизму, имеющему одно ведущее звено и одно ведомое при любом числе эпициклических ступеней. На схеме Б показана блок-схема дифференциального механизма с двумя ведущими и одним ведомым звеньями. На схеме В представлен так называемый дифференциальный механизм с замкнутым контуром, который составлен из одной или нескольких эпициклических ступеней, представляющих дифференциальную часть, и дополнительной кинематической цепи, соединяющей выходной вал механизма с одним из его входных валов. В результате такой связи в механизме остаётся одно ведущее и одно ведомое звенья.

А н а л и т и ч е с к и й р а с ч ё т к и н е м а т и к и. Задача аналитического расчёта кинематики заключается в определении угловой скорости ведомого звена в дифференциальном механизме, или в определении передаточного отношения в планетарном механизме. Исходными данными в первом случае служат угловые скорости (или частоты вращения) двух ведущих звеньев механизма и в обоих случаях – числа зубьев колёс. Для решения задачи применяют метод обращения движения, который заключается в том, что всему механизму вместе со стойкой сообщается движение с угловой скоростью, равной и противоположно направленной угловой скорости водила. Тогда при сохранении характера относительного движения звеньев водило останавливается, а все звенья получают угловые скорости, уменьшенные на угловую скорость водила. Механизм в таком случае превращается в условный механизм с неподвижными осями колес. Это позволяет составить следующую таблицу скоростей.

№ звена	Угловые скорости звеньев в реальном механизме	Угловые скорости звеньев в механизме с условно неподвижным водилом
1 2 3 H	1 2 3 H	1(H)= 1 – H 2(H)= 2 – H 3(H)= 3 – H H(H)= H – H = 0

Записываем передаточное отношение от первого центрального колеса к третьему ₁₃^(H) при условно неподвижном водиле. Для схемы, представленной на рис. 2.7, запишем ₁₃^(H) = ₁^(H)/ ₃^(H), или после подстановки соответствующих разностей из таблицы получаем

. (а)

Всё сказанное относится и к случаю, когда задаются не угловые скорости колёс, а их частоты вращения, так как соотношение между ними подчиняется простой формуле , в которой n – это частота вращения, измеряемая в . Поэтому в уравнении (а) угловые скорости можно заменить частотами вращения, что приведёт к уравнению

Из трех величин левой части две должны быть заданы, третья определяется решением данного уравнения.

В планетарном механизме, как сказано выше, одно из центральных колес неподвижно. Если, например, принять колесо 3 с внутренними зубьями за неподвижное, то есть принять ₃ = 0, то уравнение (а) запишется в виде.

.

Разделив почленно числитель на знаменатель и заменив отношения угловых скоростей обозначениями передаточных отношений, получим окончательно

, (б)

т. е. передаточное отношение в планетарном механизме от любого центрального колеса к водилу равно единице минус передаточное отношение от этого центрального колеса к другому центральному колесу в механизме с условно неподвижным водилом.

Замечание 1. При решении задачи кинематики одноступенчатого планетарного механизма (схема А рис. 2.8) и одноступенчатого дифференциального механизма (схема Б рис. 2.8) составляется и решается одно уравнение типа (б) или типа (а) соответственно. Если решается задача кинематики дифференциального механизма с замкнутым контуром (схема В рис. 2.8), то необходимо составить два уравнения, одно из которых относится к дифференциальной ступени, другое – к замыкающей кинематической цепи, и решать эти уравнения как систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 2. Если в механизме имеется несколько ступеней планетарного типа, то их необходимо рассматривать по отдельности, независимо друг от друга.

Г р а ф и ч е с к и й р а с ч ё т к и н е м а т и к и. Методика графического расчёта основана на том, что окружные скорости центроидных окружностей колес, находящихся в зацеплении, одинаковы, а в точке касания окружностей их направления совпадают. Кроме того, во вращательной кинематической паре скорость её центра является общей для обоих звеньев, составляющих пару. Важно также, что скорость точки, совершающей вращательное движение вокруг неподвижной точки, линейно зависит от её расстояния до последней, то есть подчиняется формуле . Зубчатые колёса, изображённые на рис. 2.9, а в некотором масштабе , вращаются навстречу друг другу так, что в точке П касания их центроидных окружностей окружные скорости совпадающих точек П₁ и П₂ также совпадают. Концы векторов скоростей точек, лежащих на прямой О₁О₂, принадлежащих колесу 1, располагаются на одной прямой (рис. 2.9, а), называемой линией распределения скоростей этого колеса. То же имеет место и со скоростями точек колеса 2, концы векторов которых лежат на линии распределения скоростей, соединяющей точку O₂ центра колеса 2 с концом вектора скорости . Изображение линий распределения скоростей колёс механизма называется картиной скоростей.

На этой картине скорости строятся в масштабе . (Заметим в скобках, что масштабом в ТММ называется число, показывающее, сколько единиц какой-либо физической величины содержится в одном миллиметре её изображения. Изображение величины всегда производится в виде отрезка. Это могут быть векторы, ординаты и абсциссы графиков и т. д., измеряемые в миллиметрах. Масштабы, как видим, обозначаются буквой с индексом, обозначающим соответствующую физическую величину. Например, масштаб скоростей читается: ноль целых две сотых метра в секунду в одном миллиметре изображения (или чертежа). Масштаб угловых скоростей читается: ноль целых одна сотая радиана в секунду в одном миллиметре).

На следующем этапе расчёта строится план угловых скоростей (рис. 2.9, б). Вблизи кинематической схемы проведём горизонтальную прямую и на некотором расстоянии от неё вниз возьмём произвольную точку P, из которой проведём прямые параллельно линиям распределения скоростей до пересечения с горизонталью в точках 1 и 2. Запишем цепочку равенств, имея в виду предыдущие рассуждения и подобие треугольников на картине зацепления и на плане

₁₂ = .

Учитывая начало этого равенства и его конец, можно сделать вывод, что отрезки, полученные на горизонтали, в некотором масштабе изображают угловые скорости колёс (отсюда и название построения). Для определения масштаба угловых скоростей необходимо угловую скорость ₁ (если, конечно, она задана) поделить на отрезок , измеренный в миллиметрах, т. е. . Угловая скорость ₂ определится умножением этого масштаба на отрезок , взятый также в миллиметрах . План угловых скоростей даёт информацию и об их направлениях. В частности, на рис. 2.9, б видно, что угловые скорости колёс направлены в противоположные стороны.

На основе изложенной методики можно достаточно просто решить задачу кинематики любого зубчатого механизма.

М е х а н и з м с о с т у п е н ч а т ы м с о е д и н е н и е м к о л ё с. Изобразим механизм, состоящий из четырёх колёс 1, 2, 2′ и 3, в некотором масштабе (рис. 2.10, а). Колёса вращаются вокруг центров O₁, O₂ и O₃, причём на промежуточном валу имеется два колеса 2 и 2′. Окружности колёс 1 и 2 касаются друг друга в точке A, а 2′ и 3 – в точке B. Известна угловая скорость колеса 1. Справа от схемы механизма проведём вертикальную прямую, на которую снесём все отмеченные точки схемы, а именно: O₁, A, O₂, B и O₃. Расстояния между этими точками равны соответствующим радиусам колёс, поэтому данная прямая носит название оси размеров.

Для построения картины скоростей (рис. 2.10, б) вычислим скорость точки

A: и направим её вектор вправо относительно оси размеров. Длина отрезка рассчитывается по формуле c учётом предварительно выбранного масштаба . Через точку a конца этого вектора проводим линию распределения скоростей колеса 1 до точки O₁ и от этой же точки a проводим линию распределения скоростей колёс 2 и 2′ через точку O₂ и далее до горизонтали, проведённой от точки B механизма. Полученная на этой горизонтали точка b определяет вектор скорости точки B. Величина этой скорости вычисляется как . Для получения линии распределения скоростей колеса 3 достаточно соединить точку b с точкой O₃ на оси размеров.

Построение плана угловых скоростей затруднений не вызывает (рис. 2.10, в). Найденные на горизонтальной линии плана отрезки , и в масштабе представляют векторы угловых скоростей – колеса 1, – колеса 2 (и 2′) и – колеса 3. Масштаб вычисляется, как указывалось выше. На плане угловых скоростей видно, что колёса 1 и 3 вращаются в одну сторону, колесо 2(2′) вращается в противоположную сторону.

Если по условию задачи требуется определить только передаточное отношение механизма, то достаточно взять просто отношение соответствующих отрезков, измеренных на плане угловых скоростей.

М е х а н и з м п л а н е т а р н о г о т и п а. Выберем одну из схем механизма планетарного типа и изобразим её в масштабе (рис. 2.11, а). Обозначим на схеме звенья и точки сопряжения колёс и оси колёс, отметим также радиусы колёс. Справа от схемы проведём ось размеров и снесём на неё отмеченные на схеме точки, обозначив их теми же буквами (рис. 2.11, б). Так как угловая скорость колеса 1 задана, то окружную скорость его точки A легко определим по формуле . Отложим эту скорость в виде отрезка , вычисленного как с учётом выбранного заранее масштаба , вправо от оси размеров. Через точку a этого отрезка проведём в точку O общей оси механизма линию распределения скоростей колеса 1, затем через эту же точку в точку B на оси размеров проведём линию распределения скоростей колёс 2 и 2′. Точка B имеет окружную скорость, равную нулю, так как колесо 3 неподвижно, а эта точка принадлежит ему. Поэтому и окружная скорость колеса 2 также равна нулю.

Проведём горизонтальную линию от точки O₂ оси размеров до её пересечения с линией распределения скоростей колеса 2 в точке o₂. Так найдём линейную скорость точки O₂, которая является также скоростью точки O₂ водила. Поэтому, соединив точку o₂ с точкой O общей оси механизма, получим линию распределения скоростей водила H. Построение плана угловых скоростей механизма (рис. 2.11, в) не вызывает затруднений.

Замечание. В дифференциальных механизмах с замкнутым контуром (схема В рис. 2.8), как правило, ведущим звеном является центральное колесо дифференциальной ступени, и построение картины линейных скоростей от этого колеса невозможно. Для решения задачи необходимо выбрать в качестве ведущего любое другое звено и задаться произвольно его окружной скоростью. После этого задача решается без затруднений.