Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Омский государственный технический университет

Геометрическое моделирование в САПР

Конспект лекций

по дисциплине

Омск 2007

к.т.н. Янишевская А.Г.

Конспект лекций по курсу «Геометрическое моделирование в САПР» для студентов специальностей 230104 «Системы автоматизированного проектирования», «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», «Автоматизированные системы обработки информации и управления», направление подготовки 190603 – «Информатика и вычислительная техника».

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

Лекция 1. Математическая модель геометрии объектов. Преобразования декартовых прямоугольных координат. Преобразование точек в пространстве. Преобразование компонент векторов в пространстве. Преобразование координат двухмерных точек. Преобразование компонент двухмерных векторов…………………………………………………………… 4

Лекция 2. Модификация векторов и точек. Сдвиг точки в пространстве. Поворот точки в пространстве вокруг оси. Симметрия точки относительно плоскости. Масштабирование в пространстве. Модификация векторов в пространстве. Сдвиг двухмерной точки. Поворот двухмерной точки вокруг точки. Симметрия двухмерной точки относительно линии. Масштабирование в двухмерном пространстве. Модификация двухмерных векторов………….10

Лекция 3.Геометрия кривых линий. Натуральная параметризация кривой. Сопровождающий трехгранник. Формула Френе-Серре. Сопровождающая окружность……………………………………………………………………...11

Лекция 4. Геометрия двумерных кривых. Эволюта и эвольвента…………22

Лекция 5. Геометрия поверхностей. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности……………………25

Лекция 6. Главные кривизны поверхности. Третья квадратичная форма поверхности…………………………………………………………………….33

Лекция 7. Моделирование тел… Математическая модель тел…………….38

Лекция 8. Простейшие тела. Прямоугольная призма. Цилиндрическое тело. Коническое тело. Сферическое тело. Тороидальное тело………………….43

Лекция 9. Принцип построения тел. Последовательность моделирования тел……………………………………………………………………………….51

Контрольные вопросы по дисциплине……….………………………………53

Библиографический список…………………………………………………...53

Введение

В наши дни знание основ автоматизации проектирования и умение работать со средствами САПР требуются практически любому инженеру-разработчику. Компьютерами насыщены проектные подразделения, конструкторские бюро и офисы различных фирм. Предприятия, ведущие разработки без САПР или лишь с малой степенью их использования, оказываются неконкурентоспособными вследствие как больших материальных и временных затрат на проектирование. Так и невысокого качества проектов.

К настоящему времени создано большое число программно-методических комплексов для САПР с различными степенью специализации и прикладной ориентацией. В результате автоматизация проектирования стала необходимой составной частью подготовки инженера разных специальностей.

Дисциплина «Геометрическое моделирование в САПР» относится к числу основных дисциплин специальности, она в определенной мере обобщает знания в области математического и геометрического моделирования различных объектов. Одной из ее отличительных особенностей является акцентирование внимания на системных вопросах проектирования. Цель дисциплины – освоение методов  геометрического  моделирования объектов проектирования САПР, современных тенденций развития и совершенствования систем автоматизированного проектирования.

Лекция 1 Математическая модель геометрии объектов

Моделирование реального или воображаемого объекта представляет собой совокупность действий, которые позволяют создавать его математическую модель, редактировать ее, изменять ее положение и ориентацию в пространстве и обеспечивают взаимодействие с другими моделями. Взаимодействием мы называем выполнение различных операций над моделями: установление зависимости параметров одной модели от параметров других моделей, определение взаимного положения моделей. Для выполнения этих действий необходима информация об объекте. Геометрическая информация об объекте может храниться в виде структуры данных или может вычисляться. Определим математическую модель реального или воображаемого объекта как совокупность данных и функций, позволяющих получить необходимую информацию об объекте и изменять его модель требуемым образом (рис. 1). Программную реализацию структуры данных и функций называют классом.

Геометрические объекты будут иметь свои данные и свои функции.

Для построения точки в структуре ее данных достаточно хранить три координаты и иметь функции выполнения операций над радиус-векторами.

Для построения произвольной линии нужно знать зависимость ее радиус-вектора r(t) от параметра, область изменения параметра и иметь функции вычисления производных радиус- вектора.

Для построения поверхности нужно знать зависимость ее радиус-вектора r(u,v) от параметров, область изменения параметров и иметь функции вычисления частных производных радиус-вектора.

Тело мы будем описывать совокупностью ограничивающих его поверхностей, дополненной информацией об их связях друг с другом.

С математической точки зрения все геометрические объекты равноправны. Для них существует ряд общих выполняемых функций. Все геометрические объекты могут быть подвержены модификации сдвига, поворота, масштабирования, симметрии, поэтому они должны иметь функции, соответствующие этим действиям. Кроме того, для работы с геометрическим объектом нужны функции создания объекта (конструкторы), удаления объекта (деструктор), функция создания копии объекта, функции доступа к данным объекта, функции редактирования данных объекта. Математическая модель должна быть дополнена функциями, обеспечивающими взаимодействие объектов и выполнение над ними различных операций.

Преобразование декартовых прямоугольных координат

Преобразование координат точек в пространстве. Рассмотрим, как изменятся декартовые прямоугольные координаты точки в пространстве при переходе от одной системы координат к другой. Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: Оe₁e₂e₃ и Оi₁i₂i₃. Пусть положение некоторой точки R в первой системе описываются координатами r₁, r₂, r₃, которым соответствует вектор r, а во второй системе положение этой же точки описывается координатами x₁, x₂, x₃, которым соответствует вектор x (рис. 2).

Рис. 2

Заметим, что равенствами

(1)

точка R описывается в разных системах координат. Обозначим через

(2)

вектор, направленный из точки О в точку Q. Если к вектору q добавить вектор x, то мы получим вектор r. Сложение векторов мы выполним в первой системе координат, так как именно в ней рассматриваемая точка описывается вектором r. Для этого разложим орты i₁, i₂, i₃ по ортам e₁, e₂, e₃:

(3)

где a_ij, i, j = 1, 2, 3 – компоненты ортов i₁, i₂, i₃ в системе координат Оe₁e₂e₃. Сложив векторы q и x, получим равенство

откуда следуют формулы преобразования координат точки при переходе из системы Оi₁i₂i₃ в систему координат Оe₁e₂e₃:

(4)

В матричном представлении (4) имеет вид

(5)

где A^T – транспонированная матрица поворота:

.

Строки матрицы A составлены из компонент векторов i₁, i₂, i₃. Умножив каждое из равенств (3) скалярно на e₁, e₂, e₃, получим еще одно выражение для компонент матрицы A:

(6)

Из (6) видно, что базисные векторы е₁, е₂, е₃ в системе координат с базисными векторами i₁, i₂, i₃ выражаются через те же коэффициенты, которые присутствуют в (3):

(7)

Действительно, если каждое из равенств (7) умножить скалярно на i₁, i₂, i₃, то получим равенство (6).

Обозначим через о=о₁i₁+о₂i₂+о₃i₃ вектор, направленный из точки Q в точку O. Выполнив сложение векторов o и r во второй системе координат, мы получим вектор х. Приравняв соответствующие компоненты векторов, получим формулы преобразования координат рассматриваемой точки при переходе из системы Ое₁е₂е₃ в систему координат Qi₁i₂i₃:

(8)

Если формулы (8) применить для точки Q, мы получим формулы, выражающие компоненты о_1, о_2, о₃ вектора о через компоненты q_1, q_2, q₃ вектора q:

Подставив последние в (8), получим

В матричном представлении преобразования (8) имеют вид:

(9)

Умножив равенство (1.2.9) слева на А^Т и прибавив вектор q, в соответствии с формулой (1.2.5) мы должны получить вектор r. Отсюда следует, что

(10)

Мы видим, что транспонированная матрица поворота равна своей обратной матрице, т.е. матрица поворота системы координат является ортогональной. Отсюда же следует, что определитель матрицы А равен единице:

(11)

Преобразования компонент векторов в пространстве. Пусть некоторый пространственный вектор в системе координат Ое₁е₂е₃ описывается выражением r₁e₁+r₂e₂+r₃e₃, а в системе координат Qi₁i₂i₃ этот же вектор описывается выражением x₁i₁+x₂i₂+x₃i₃. С учетом формул (3) и (7) получим, что преобразования компонент векторов описываются формулами (4) и (8), в которых компоненты q_1, q_2, q₃ и o_1, o_2, o₃ следует положить равными нулю.

Преобразования координат двухмерных точек. Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: Ое₁е₂ и Qj₁j₂. Пусть положение некоторой

Рис. 3

точки Р в первой системе описывается вектором p = p₁e₁+p₂e₂, а во второй системе положение этой же точки описывается вектором y = y₁j₁+y₂j₂ (рис. 3).

Разложим вектор q, направленный из точки О в точку Q, а также орты j₁, j₂ по ортам е₁, е₂:

(12)

(13)

Сложив векторы q и у, получим:

Отсюда следуют формулы преобразования координат точки:

(14)

Матричное представление (14) совпадает с (5): p=A^T∙y+q. Так как базисные векторы j₁ и j₂ имеют единичную длину, равенствам (13) можно придать вид

(15)

если обе координатные системы правые или левые, и

если одна из координатных систем правая, а другая – левая. Угол φ между векторами е₁ и j₁ отсчитывается от е₁ в сторону вектора е₂. Пусть обе системы координат являются правыми (для систем разной ориентации следует изменить знак и на противоположный). Матрица поворота систем координат, выраженная через угол φ, имеет вид:

Преобразование координат (14) при переходе от системы с базисными векторами е₁ и е₂ к системе координат с базисными векторами j₁ и j₂ примет вид:

(16)

Решив систему уравнений (16) относительно у₁ и у₂, получим обратное преобразование

(17)

Если в (17) положить р₁=0, р₂=0, то получим координаты точки О в системе с базисными векторами j₁, j₂, выраженные через компоненты q₁ и q₂:

(18)

В системе координат с базисными векторами j₁, j₂ координаты о₁ и о₂ равны компонентам вектора о, построенного из точки Q в точку О. С учетом формул (18) преобразование координат точки (17) будет иметь вид:

Выразим из (18) координаты q₁ и q₂ через координаты о₁ и о₂ и подставим их в (16). В результате получим:

(19)

Матричные записи преобразований координат точки при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой в двухмерном пространстве и трехмерном пространстве совпадают.

Преобразования компонент двухмерных векторов. Пусть некоторый двухмерный вектор в системе координат Ое₁е₂ описывается выражением р₁е₁+р₂е₂, а в системе координат Qj₁j₂ этот же вектор описывается выражением y₁j₁+y₂j₂. С учетом формулы (15) получим, что преобразования компонент двухмерных векторов описываются формулами (16) и (17), в которых компоненты q₁, q₂ следует положить равные нулю.