Метод Ньютона (касательных).

Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки, где есть только один корень.

Обозначим найденный промежуток локализации [a;b], на этом промежутке должны выполняться два условия:

• Функция y(x) непрерывна на [a;b]

• y(a)*y(b)<0, т.е. функция имеет разные знаки на концах промежутка.

Метод Ньютона является итерационным методом. В любом итерационном методе выбирается начальное приближение к корню , затем определяется x₁x₂…x_ix_i+1, причем .

Процедура прекращается при условии x_i+1 – x_i │≤ ε, где ε - точность вычисления корня, некое малое число. В наших лабораторных работах выберем =0,0005.

Начальное значение определяется по правилу:

Пусть, например, =b

Рис. 10

На рис.10 показан график функции y(x) на промежутке локализации [a;b]. Нас интересует точка пересечения графика функции с осью OX.

Шаг 1. Для нахождения точки x₁проведем касательную к y(x) в точке ( ,y( )). x₁ – точка пересечения касательной с осью OX.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK.

Сторона , , сторона

Тогда

Шаг 2. Необходимо сравнить и x₁. Если , то будем считать, что корень найден и равен x₁, если , то необходимо провести касательную к y(x) в точке (x₁,y(x₁)) и вычислить .

.Шаг i. Вычислять x_i+1по формуле:

До тех пор, пока станет меньше .

Численный пример.

Рассмотрим функцию Z(x)= tg(x) – x + 2. Как было установлено, промежуток локализации корня для этой функции от –1,5 до -1.1, а=-1,5, b=-1 Требуется вычислить корень функции с точностью ε = 0.0001 Сначала необходимо найти первую и вторую производные

В качестве начального приближения x₀ выберем значение -1.5 (x₀=-1.5), так как знаки функции и ее второй производной совпадают (Z(-1.5) = -10.6 Z’’(-1.5)= -0.0005).

Сначала найдем корень функции без использования компьютера. Чтобы ограничить количество итераций определим с точность ε=0.05.

Шаг 1. Вычислим х₁.

Z(x₀)= -10.6014, первая производная z’(x₀) = 198.86

│x₁ – x₀ │= 0.054. Поскольку требуемая точность не достигнута, продолжаем вычисления.

Шаг 2.

Z(x₁)=-4.569, Z’(x₁) = 64.256

│x₂ – x₁ │= 0.07 > 0.05

Шаг 3

Z(x₂)=-1.681, Z’(x₂)= 25.575

│x₃ – x₂ │= 0.067 >0.05

IШаг 4.

Z(x₃)=-0.435, Z’(x₃)=14.02

│x₄ – x₃ │=0.021 <0.05, поэтому считаем, что корень найден и равен -1.2878, Z(-1.287)=0.04

Для вычислений на компьютере выберем точность 0.0001

В таблице 4 представлены вычисления на рабочем листе MS Excel

В колонке А указывается номер итерации i, в колонке В – значение x_i, в колонках C и D рассчитываются значения функции Z(x_i)и ее производной Z’(x_i)

Разность между х₆ и х₅ (│х₆ - х₅│= 0.00007) по абсолютному значению меньше заданной точности ε = 0.0001, поэтому считаем, что корень Z(x) = -1.274.

Таблица 4

A		B	C	D
=B101-C101/D101		=TAN(B101)-B101+2			=1/COS(B101)^2-1
100	i	Xi	Z(Xi)	Z'(Xi)
101	0	-1.5	-10.60142	198.85004
102	1	-1.44669	-4.56927	64.25558
103	2	-1.37558	-1.68159	25.57491
104	3	-1.30982	-0.43461	14.02079
105	4	-1.27883	-0.04830	11.06979
106	5	-1.27446	-0.00075	10.72704
107	6	-1.27439	0.00000	10.72165
		Корень

12