Методические указания по выполнению лабораторной работы

«Решение нелинейных уравнений»

Оглавление

Общие положения 1

1 этап. 1

2 этап. 3

Метод половинного деления (дихотомии) 3

Метод хорд 6

Метод Ньютона (касательных). 10

Общие положения

Решением или корнями уравнения Y(x)=0, называются такие значения аргумента х, при которых значение функции Y(x) становится равным нулю (равенство обращается в верное тождество). Только 2 класса уравнений – линейное ax + b = 0 и квадратное ax² + bx + c = 0 – имеют в общем случае аналитическое решение в виде формул. Все остальные классы уравнений имеют аналитические решения только в некоторых частных случаях.

В данной лабораторной работе мы познакомимся с численными методами нахождения корней для любых классов уравнений. При этом определять значение корня мы будем с некоторой заданной точностью .

Вычисление корня нелинейного уравнения осуществляется в 2 этапа:

1 этап. Определение промежутков локализации [a, b]. Промежуток локализации [a, b] это такой промежуток обязательно есть корень функции, причем только один. Определение промежутков локализации выполняется с помощью построения таблицы значений и графика функции;

2 этап. Уточнение корней из выбранных промежутков локализации. На этом этапе применяются методы метод половинного деления (дихотомии) , касательных (Ньютона), хорд и другие.

1 Этап.

Промежуток [a, b], на котором следует искать корень функции должен удовлетворять 2 условиям:

- функция Y(x) должна быть непрерывна на этом промежутке [a, b]:

- значения функции Y(x) на концах промежутка в точках a и b должны иметь разные знаки Y(a) * Y(b) < 0

Рассмотрим уравнение x³ -5x + 3 = 0. функция Y(x) = x³ -5x + 3 является непрерывной при любом х, так что первое условие выполняется всегда. Для определения промежутков, где функция меняет знак, построим таблицу значений функции. См. рисунок 1.

X	Y(x)=x3-5x +3
-3	-9
-2.5	-0.125	первый корень в промежутке [-2.5, -2]
-2	5
-1.5	7.125
-1	7
-0.5	5.375
0	3
0.5	0.625	второй корень в промежутке [0.5, 1] третий корень в промежутке [1, 1.5]
1	-1
1.5	-1.125
2	1

Рис. 1

Поскольку на промежутке от -2.5 до -2 функция Y(x) поменяла знак, (Y(-2.5)=-0.125, Y(-2.0)=5) и функция непрерывна, то где-то на этом промежутке она принимает значение 0, то есть на этом промежутке у функции Y(x) = x³ -5x + 3 есть корень. У кубической функции должно быть 3 корня, что и обнаруживается при дальнейшем анализе таблицы.

На рисунке 2 представлен график этой функции, иллюстрирующий промежутки локализации корней.

Рис. 2

Рассмотрим другой пример: tg(x) – x + 2 =0, левую часть уравнения обозначим Z(x)= tg(x) – x + 2. Как известно, tg(x) имеет разрывы в точках x= /2 n. Построим таблицу значений функции Z(x), как показано на рисунке 3.

x	tg(x)-x+2
-2.5	5.247	На промежутке [ -2, -1.5] разрыв функции
-2	6.185
-1.5	-10.601	Корень на промежутке [ -1.5 до -1.0]
-1	1.443
-0.5	1.954
0	2.000
0.5	2.046
1	2.557
1.5	14.601	На промежутке [ 1.5, 2.0] разрыв функции
2	-2.185
2.5	-1.247
3	-1.143

Рис. 3.

Первое изменение знака функции Z(x) мы видим на промежутке [-2.0, -1.5], однако в точке x= -/2 = -1.5759 имеется разрыв функции, нарушено условие непрерывности, поэтому на промежутке [-2.0, -1.5] корня нет. На промежутке [-1.5, -1.0] опять изменился знак функции, при чем на этом промежутке функция Z(x) непрерывна, поэтому промежуток [-1.5, -1.0] является промежутком локализации и содержит корень функции. Дальнейший анализ таблицы значений показывает, что на промежутке [1.5, 2.0] снова происходит смена знака функции, но в точке x= /2 = 1.5759 имеется разрыв функции, следовательно корня на этом промежутке нет.

Рисунок 4 показывает график функции Z(x)= tg(x) – x + 2. На рисунке видно, что на промежутках [-2.0, -1.5] и [1.5, 2.0] не может быть корней функции Z(x).

Рис. 4.