Метод хорд

НА первом этапе уже определен промежуток локализации корня [a, b], такой, что на этом промежутке есть только один корень уравнения Y(x)=0.

Шаг 1. Проводим прямую (хорду) между точками с координатами (a, Y(a)) и (b, Y(b)). Выведем уравнение этой прямой g=k∙x + m:

Y(b) = k∙b + m (1)

Y(a) = k∙a + m (2)

Тогда

(3)

Подставим полученное для k выражение в (1) и выведем формулу для m.

Теперь, определив коэффициенты уравнения прямой k m можно вычислить точку пересечения хорды с осью абсцисс x₀, в которой Y(x₀)=0:

См. рис. 7 и рис. 8.

Рис. 7

Рис. 8

Шаг 2. Затем сравним знаки функции Y(x) в точках а и x₀ Y (а) и Y(x₀).

Если знаки функции одинаковы Y(а)∙Y(x₀) > 0, то на промежутке от а до x₀ корня нет, дальше будем рассматривать промежуток [x₀, b] и следующую хорду нужно провести между точками с координатами (x₀, Y(x₀)) и (b, Y(b)). Точку а переносим в x₀. См. рис.7.

Если же, как на рис.8, Y(а) и Y(x₀) имеют разные знаки, то есть Y(а)∙Y(x₀) < 0, то дальше следует рассматривать промежуток [a, x₀]. Следующую хорду надо провести между точками (a, Y(a)) и (x₀, Y(x₀)). Точку b переносим в x₀.

Выбор точки а или b, из которой следует строить следующую хорду, можно также осуществить с помощью знака второй производной Y”(x). Если знак Y(b) и Y’’(b) совпадают (Y(b)∙Y’’(b) > 0, то хорды следует строить из точки b (рис 8. случай II), в противном случае из точки а (рис.7, случай I).

Эти действия можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. 9

Рис. 9

Шаг 3. Следующее приближение к корню Y(x) x₁ вычислим по формуле, аналогичной (5)

и сократим длину промежутка [a, b] как на 2-ом шаге (рис.9).

Шаг 4. Продолжать вычисление x₂, x₃,….x_i до тех пор, пока не выполнится условие

│x_i – x_i-1│≤  (6)

Как только условие (6) выполнится, будем считать, что x_i это корень функцииY(x), найденный с точностью .

Численный пример.

Рассмотрим функцию x³ -5∙x + 3 = 0. Один из промежутков локализации -[1.5, 2], точность =0.01

Вычисления приведены в таблице 2.

Шаг 1. Вычислим значения Y(a), Y(b), затем x₀ по формуле (5) и Y(x₀).

Шаг 2. Поскольку Y(a) и Y(x₀) имеют одинаковый знак, то согласно блок-схеме на рис. 9, a = x₀, b = b.

Шаг 3. Вычислим значения Y(a), Y(b), затем x₁ по формуле (5) и Y(x₁). Отметим, что │Y(x₁)│ < │Y(x₀)│.

Шаг 4. Проверим выполнение условия (6) : x₁ – x₀ =0.0581 >, поэтому продолжаем вычисления для x₂, x₃.

Разность между x₃ и x₂ (│x₃ - x₂│= 0.009) становится меньше заданной точности  = 0,01, следовательно корень найден и равен 1.8332.

Таблица 2

i	a	b	xi	Y(a)	Y(b)	Y(xi)	│xi–xi-1│
0	1.5	2	(1*1.5+1.125*2)/(1+1.125) =1.7647	-1.125	1	-0.328
1	1.7647	2	(1*1.7647+0.328*2)/(1+0.328) =1.8228	-0.328	1	-0.0575	0.2647
2	1.8228	2	(1*1.8228+0.0575*2)/(1+0.0575) =1.8324	-0.0575	1	-0.00913	0.058
3	1.8324	2	1.8332	-0.00913	1	-0.00143	0.009

В таблице 3 представлено решение в Excel с точностью 0.0005

В колонке A указывается номер итерации I, в ячейках AB78и D78 - границы промежутка локализации корня [a,b], в колонках E,F,G – значения функции Y в точках a, b, x_i соответственно, в ячейках B80, C80 и ниже в этих колонках записывается условный оператор , соответствующий блок-схеме на рис.9. В колонке H вычисляется длина отрезка [X_i-X_i-1] на каждом шаге.

Таблица 3

	A	B	C	D	E	F	G	H
		=ЕСЛИ(E79*G79>0;C79;D79)		=(F79*B79-E79*C79)/(F79-E79)
=ЕСЛИ(E79*G79>0;D79;B79 )
78	i	a	b	Xi	Y(a)	Y(b)	Y(Xi)	Xi-Xi-1
79	0	1.5	2	1.76471	-1.125	1	-0.32791
80	1	1.76471	2	1.82281	-0.32791	1	-0.05752	0.26471
81	2	1.82281	2	1.83245	-0.05752	1	-0.00913	0.05810
82	3	1.83245	2	1.83396	-0.00913	1	-0.00143	0.00964
83	4	1.83396	2	1.83420	-0.00143	1	-0.00022	0.00152
84	5	1.83420	2	1.83424	-0.00022	1	-3.5E-05	0.00024

Так как в строке 84 длина отрезка [X_i-X_i-1] оказалась равной 0.00024 что меньше точности =0.0005, то полученное в ячейке В84 значение X=1.83420 является корнем уравнения, вычисленным с точностью =0.0005.