20. Что такое игра с природой?

ИГРА С “ПРИРОДОЙ” [game with nature] — игра, в которой имеется только один игрок, причем исход ее зависит не только от его решений, но и от состояния “природы”, т. е. не от сознательно противодействующего противника, но от объективной, невраждебной действительности. Платежная матрица в этом случае похожа на показанную в ст. “Матрица игры”, но здесь игрок X — это лицо, принимающее одно из m различных возможных решений, а игрок Y — “природа”, принимающая nвозможных состояний. При выборе решения игроком X могут использоваться различные критерии,

21. Как решать матричные игры?

Матричные игры

        понятие игр теории (См. Игр теория). М. и. — игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий (См. Стратегия). Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II — n стратегий, то игра может быть задана (m × n)-maтрицей А = ||a_ij||, где a_ij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i = -1, ..., m), а игрок II — стратегию j (j = 1, ..., n). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (См. Антагонистические игры) (частным случаем которых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i₀, на которой достигается

        

        ;

         игрок II стремится выбрать стратегию j_o, на которой достигается

        

        ;

         Если υ₁ = υ₂, то пара (i₀, j₀) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство

        

        ; i = 1, …, m; j = 1, …, n.

        Число   i₀, j₀ называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если υ₁ ≠ υ₂, то всегда υ₁ < υ₂; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.

22. Каковы основные критерии решения игр с природой?

Критерий Вальда (максиминный критерий^[1]) — один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма.

Критерий Сэвиджа. Критерий заключается в следующем:

1. Строится матрица стратегий. Столбцы соответствуют возможным исходам. Строки соответствуют выбираемым стратегиям. В ячейки записывается ожидаемый результат при данном исходе и при данной выбранной стратегии.

2. Строится матрица сожаления. В ячейках матрицы величина сожаления — разница между максимальным результатом при данном исходе (максимальном числе в данном столбце) и результатом при выбранной стратегии. Сожаление показывает величину, теряемую при принятии неверного решения.

3. Минимаксное решение соответствует стратегии, при которой максимальное сожаление минимально. Для этого для каждой стратегии (в каждой строке) ищут максимальную величину сожаления. И выбирают то решение (строку), максимальное сожаления которого минимально.

Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).