9. Уравнение линии в полярной системе координат.

Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (см. рисунок).

В озьмем уравнение прямой в нормальном виде

Формулы перехода имеют вид

(1)

Подставив в это уравнение значения x и y из формулы (1), получим

или ,откуда , и окончательно

В этом уравнении постоянными величинами являются p и , величины же r и - переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа).

10. Параметрическое уравнение линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

, (1)

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

F(x, y)=0.

11. Векторное уравнение линии.

12. Алгебраические линии.

13. Линии первого порядка.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

У равнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку ( , ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки ( , ), ( , ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки (х1,у1), (х2,у2)

Если известны угловые коэффициенты к1 и к2 двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

или

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

14.Уравнение прямой. Проходящей через данную точку, имеющей заданный угловой коэффициент.

Уравнение прямой

Прямую можно задать различными способами. Уравнение y = kx + b

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением x = x0. Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.

Итак, уравнением y = kx + b можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой a x + b y = c (a2 + b2 ≠ 0)

График 2.1.3.1.

График прямой x = 3.

Если b = 0, то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же b ≠ 0, то Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как

Зафиксируем на графике линейной функции точку A (x0; y0). Пусть B (x; y) – произвольная точка графика. Из треугольника ABC легко увидеть, что Уравнение y = y0 + k (x – x0)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: A (x1; y1) и B (x2; y2). Из треугольника ABC следует, что Таким образом, уравнение

задает прямую, проходящую через две заданные точки.

Угловой коэффициент прямой k = arctg α.

Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой a x + b y = c, где a · b · c ≠ 0. Его можно преобразовать к виду Это уравнение пересекает координатные оси в точках (p; 0) и (0; q). в чем легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках:

Уравнение прямой в отрезках на осях