7.Теорема о предельном переходе в неравенстве.
Если
последовательность
сходится к
,
а последовательность
сходится
к
,
и для всех номеров n
, то
.
Доказательство
(от противного).
Пусть a
< b
. Возьмем
.
Для этого
согласно определению предела
последовательности
(12.3) и
(12.4)
Обозначим
через N
наибольшее из чисел N1
и N2
; тогда при n=N
неравенства (12.3) и (12.4) выполняются
одновременно. Взяв правое неравенство
(12.3) , левое неравенство (12.4) и подставляя
,
имеем
и
,
т.е.
и
Из
последних двух неравенств вытекает,
что
.
Однако
это невозможно, так как по условию
теоремы
.
Противоречие доказывает теорему.
8. Теорема о трех последовательностях.
Если последовательности Xn и Yn имеют один и тот же предел a, и последовательность Zn такова, что Xn≤Zn≤Yn (n=1,2...), то последовательность Zn сходится, причем к тому же числу a.
Доказательство. Зададим ε>0, тогда согласно определению предела последовательности
можно найти натуральные N1 и N2 такие, что ∀ n≥N1 выполнено неравенство:
a−ε<Xn<a+ε и ∀ n≥N2 выполнено неравенство: a−ε<Yn<a+ε . Для номеров,
больших или равных N=max(N1,N2), выполнены оба неравенства. Взяв оба этих
неравенства и неравенство для Zn из условия теоремы, получим ∀ n≥N :
a−ε<Xn<a+ε или, иначе, ∀ n≥N :∣Zn−a∣<ε . Значит, lim n→∞ Xn=a по определению
предела последовательности.
9. Арифметические действия над сходящимися последовательностями
(доказательство для суммы).
Пусть имеются две последовательности {Xn} и {Yn}. Составим последовательность {Zn}, элементы которойвычисляются по формуле: Zn = Xn + Yn, n=1,2,... .
Последовательность {Zn} называется суммой последовательностей {Xn} и {Yn}.
Теорема о сумме сходящихся последовательностей.
Если последовательности {Xn} и {Yn} сходятся, то их сумма {Xn+Yn} также сходится, причем ее предел равен сумме пределов первых 2-х последовательностей:
lim n→∞(Xn+Yn)=lim n→∞ Xn + lim n→∞Yn
Доказательство. Обозначим lim n→∞ Xn=a , lim n→∞Yn=b . Нам нужно доказать, что
lim n→∞(Xn+Yn) существует и равен a+b. Зафиксируем произвольное число ε>0 и
рассмотрим модуль разности |(Xn+Yn) – (a+b)| (именно это выражение присутствует в определении того факта, что lim n→∞(Xn+Yn)=a+b ). Перегруппируем слагаемые под знаком модуля и применим неравенство для модулей:
∣ (Xn+Yn)−(a+b) ∣=∣ (Xn−a)+(Yn−b) ∣≤∣Yn−b∣ - 1.
Заметим теперь, что поскольку lim n→∞Xn=a , то ∃ N1∈N , такое, что ∀ n≥N1
выполнено ∣Xn−a∣<ε/2 - 2.
Аналогично из того факта, что lim n→∞Yn=b , вытекает , что ∃ N2∈N , такое, что
∀ n≥N2 : ∣ Yn−b ∣<ε/2 - 3.
Пусть N – наибольшее из чисел N1 и N2; тогда при n≥N выполнены оба неравенства — 2 и 3. При n≥N можно продолжить неравенство 1 с учетом 2 и 3:
∣ (Xn+Yn)−(a+b) ∣≤∣Xn−a ∣+∣ Yn−b ∣<ε/2+ε/2=ε . Но это и означает, что
lim n→∞(Xn+Yn) = a+b (так как ∀ε>0∃ N ∈N :∣ (Xn+Yn)−(a+b) ∣<ε ).
10. Расходящиеся последовательности (определение). Случай невыполнения необходимого условия сходимости.
Расходящейся
наз. Последовательность не имеющая
предела.
Необходимое условие сходимости: если последовательность сходится, то она должна быть ограничена. Пример невыполнения:
Докажем
что последовательность {n2}
расходится. Сначала установим, что она
неограниченна
Из неограниченности вытекает что последовательность расходится.