- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •10. Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12. Лемма о вложенных отрезках.
- •18. Локальные свойства функций имеющих предел.
- •16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности
- •21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции
- •23. Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24. Замечательные пределы
- •27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •29. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
- •33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала
- •46. Условия монотонности функции.
- •47. Условия экстремума функции.
- •48. Условия выпуклости функции
- •51.Комплексные числа
- •14. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •40. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
18. Локальные свойства функций имеющих предел.
Определение 1. Пусть функция определена на множестве и – некоторое его подмножество ( ). Говорят, что функция ограничена (соотв., ограничена сверху или снизу) на множестве , если его образ есть ограниченное (соотв., ограниченное сверху или снизу) множество.
Теорема 1 (о локальной ограниченности). Пусть функция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует предел , то существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве .
Ниже знак числа обозначается через .
Теорема 2 (о стабилизации знака). Пусть функция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует отличный от нуля предел , то в некоторой проколотой окрестности точки функция имеет тот же знак, что и этот предел: точнее, существует такая окрестность точки , что |
|
16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности
Числовой функцией или функцией одной (вещественной) переменной называется отображение , область определения которой есть числовое множество, т.е. .
Пусть и – окрестность точки . Множество далее будем называть проколотой окрестностью точки .
Определение 1. Точка называется точкой сгущения или предельной точкой множества , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка этого множества, т.е. если для любой окрестности точки Æ.
Определение 2 (предела функции по Коши). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам:
|
|
имеет место неравенство
|
(2) |
Определение 2’. Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что
. .
Определение 3 (предела по Гейне). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой последовательности последовательность сходится и
. |
(3) |
Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.
Теорема 2. Если функция имеет предел в точке , где – точка сгущения множества , то этот предел единственный
Теорема 3 (об арифметических свойствах предела функции). Пусть функции и определены на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существуют пределы и ,то существуют и пределы , , , (последний при дополнительном предположении, что и ),причем
а) ,
б) (теорема о пределе суммы и разности),
в) (теорема о пределе произведения),
г) (теорема о пределе частного).
Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции и определены на множестве и - точка сгущения множества . Тогда если и существуют пределы и , то .
Теорема 5 (принцип двух милиционеров). Пусть функции , и определены на множестве и - точка сгущения множества . Тогда если и существуют равные между собой пределы и ,то существует и равный им предел ,т.е. .
20. Односторонние пределы.
Пусть задана функция и точка . Рассмотрим множества
и .
Определение 1. Пусть - точка сгущения множества . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство . то число называется левосторонним пределом функции в точке или также пределом функции в точке слева.
Определение 2. Пусть - точка сгущения множества . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство то число называется правосторонним пределом функции в точке , или также пределом функции в точке справа
Теорема 1. Пусть , и – точка сгущения каждого из множеств и . Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы и , то существует и равный им двусторонний предел = = .