- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •10. Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12. Лемма о вложенных отрезках.
- •18. Локальные свойства функций имеющих предел.
- •16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности
- •21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции
- •23. Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24. Замечательные пределы
- •27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •29. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
- •33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала
- •46. Условия монотонности функции.
- •47. Условия экстремума функции.
- •48. Условия выпуклости функции
- •51.Комплексные числа
- •14. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •40. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
10. Число e.
■Этот предел обозначают буквой e и называют числом e.
Лемма 1. Для любого и любого справедливо неравенство (1)(неравенство Я. Бернулли)
Лемма 2. Существует предел .
Доказательство. Рассмотрим сначала последовательность , Используя неравенство Бернулли, при будем иметь:
(здесь ³ получено из (1) при ). Таким образом, и следовательно , то есть последовательность - убывающая.Кроме того, очевидно, что последовательность положительная . Следовательно, она ограничена снизу. Поэтому существует предел Возвращаясь к интересующей нас последовательности , ,видим, что .Поскольку существуют пределы: и ,то по теореме о пределе произведения последовательностей существует и предел , т.е. предел ■
Замечание 2. Этот предел обозначают буквой e и называют числом e. Можно доказать, что число e иррациональное. В настоящее время оно вычислено с большей степени точности в частности, в пределах первых пятнадцати знаков после запятой
e = 2,718281828459045…
11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если
.
Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
Определение 2. Если для любого вещественного числа E $N:xn > E "n > N(соотв., xn < E "n > N ),то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .
Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ ¥ употребляется без знака).
Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то - бесконечно малая последовательность
Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.
12. Лемма о вложенных отрезках.
Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков ,
( ),
их пересечение
непусто
Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.
15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
Определение 1. Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что при всех выполняется неравенство (1)
Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется такой номер , что и справедливо неравенство (1')
Теорема 1. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.
Док-во: Пусть фиксировано некоторое , тогда существует такой номер N, что при n,m > N выполняется неравенство (1). Возьмем m = N + 1, тогда при n > N и, следовательно, .
то есть все члены последовательности при n > N ограничены числом .
Положим .Очевидно, при всех , то есть последовательность ограничена□
Теорема 2 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.